Ostroslup trojkatny

[Dexous]

W ostroslupie trojkatnym wszystkie krawedzie obczne i dwie krawedzie podstawy maja dlugosc b a kat miedzy rownymi bokami podstawy ma miare \(\alpha\) Oblicz objetosc tego ostroslupa. DLa jakich \(\alpha\) zadanie to ma rozwiazanie.

Moj sposob rozwiazania. Niestety gdzies musi byc blad gdyz wynik jest troche inny.

Oznaczam wszystkie krawedzie jako b oraz a ( krawedz podstawy) . Wiec w podstawie mam trojkat rownoramienny.
Pole podstawy to \(Pp = \frac{1}{2}b^2 sin \alpha\)
nastepnie licze dlugosc boku a z twierdzenia cosinusow i wychdzi mi
\(a = b \sqrt{2(1-cos \alpha})\)

Zauwazam ze krawedzie boczne sa rowne, wiec moge opisac okrag na podstawie i promien licze z twierdzenia sinusow
\(R = \frac{b \sqrt{2(1 -cos \alpha)} }{2 sin \alpha}\)
nastepnie wyliczam wysokosc ostroslupa
\(R^2 = H^2 = b^2\)
z czego mi wyszlo
\(H = \frac{ \sqrt{2}b \sqrt{2 sin^2 \alpha - 1 + cos \alpha} }{2 sin \alpha}\)

Podstawiam do wzoru na objetosc ostroslupa i
\(V = \frac{b^3 \sqrt{2} }{12} \sqrt{2 sin^2 \alpha-1+cos \alpha}\)

Niestety wynik jest taki : \(\frac{ \sqrt{2} }{12}b^3 sin\alpha \sqrt{ \frac{1+2 cos \alpha}{1 + cos \alpha} }\)

[patryk00714]

Próbowałem przekształcić wyrażenie pod pierwiastkiem i wyszło mi coś takiego (liczyłem na otrzymanie wyrażenia z odp), więc albo da się to jeszcze przekształcić, albo gdzieś masz jakiś błąd ( nie szukałem błędu).

\(\sqrt{2sin^2 \alpha -1+cos \alpha }= \sqrt{sin^2 \alpha (2- \frac{1}{sin^2 \alpha }+ \frac{cos \alpha }{sin^2 \alpha }) }=\)

\(=sin \alpha \sqrt{2- \frac{1+cos \alpha }{sin^2 \alpha } }=sin \alpha \sqrt{ \frac{2sin^2 \alpha -1+cos \alpha }{1-cos^2 \alpha } }=sin \alpha \sqrt{ \frac{1-2cos^2 \alpha +cos \alpha }{1-cos^2 \alpha } }=\)

\(=sin \alpha \sqrt{ \frac{cos^2 \alpha +sin^2 \alpha -2cos^2 \alpha +cos \alpha }{1-cos^2 \alpha }}=sin \alpha \sqrt{ \frac{sin^2 \alpha -cos^2 \alpha +cos \alpha }{1-cos^2 \alpha } }=sin \alpha \sqrt{ \frac{cos2 \alpha -cos \alpha }{cos^2 \alpha -1} }\)

[Dexous]

A ogolnie rozumowanie mialem dobre ?

[patryk00714]

sprawdź dokładnie tego Pitagorasa, z ktorego H wyliczasz bo mi coś tam nie gra ogólnie rozumowanie bardzo dobre

[Leks]

Nie ma to jak odpowiedzieć po 5 latach ale dla wszystkich osób, które szukają tego zadania w internecie a wychodzi im taki wynik jak Dexousowi, zadanie jest dobrze rozwiązane, gdyż po przekształceniach wychodzi taki wynik jak w odpowiedziach.