prostopadloscian

[lloniek]

przekatne podstawy prostopadloscianu maja dlugosc 5 a cosinus kata miedzy nimi jest rowny 7/25 . Oblicz cosinus kata miedzy przekatnymi dwoch scian bocznych wychodzacymi z jednego wierzcholka jezeli wysokosc prostopadloscianu jest rowna 2pierw z 3

[irena]

x, y- krawędzie podstawy
Z twierdzenia cosinusów:
\(x^2=2\cdot(\frac{5}{2})^2-2\cdot(\frac{5}{2})^2\cdot\frac{7}{25}\\x^2=\frac{25}{2}-\frac{7}{2}=9\\x=3\\3^2+y^2=5^2\\y^2=25-9=16\\y=4\)

p, q- przekątne sąsiednich ścian

\(p^2=(2\sqrt{3})^2+4^2\\p^2=12+16=28\)

\(q^2=(2\sqrt{3})^2+3^2=12+9=21\)

\(5^2=p^2+q^2-2pq cos\alpha\\25=28+21-2\cdot2\sqrt{7}\cdot\sqrt{21}cos\alpha\\25=49-4\cdot7\sqrt{3}cos\alpha\\28\sqrt{3}cos\alpha=24\\7\sqrt{3}cos\alpha=6\\cos\alpha=\frac{6\sqrt{3}}{21}=\frac{2\sqrt{3}}{7}\)

\(cos\alpha\approx0,4949\\\alpha\approx60,5^0\)

[Konstancja333]

skąd w pierwszym twierdzeniu cosinusów wzięło się 2????

[Galen]

Przekątne prostokąta są równe 5,to ich połowy 5/2
\(x^2=( \frac{5}{2} )^2+( \frac{5}{2})^2-2 \cdot ( \frac{5}{2}) \cdot ( \frac{5}{2}) \cdot \frac{7}{25}\)
Dwukrotnie występuje składnik \(( \frac{5}{2})^2\) , stąd 2 razy...