kula wpisane w ostroslup

[kaum_erdbeere]

1. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź podstawy ma długość\(a\). Krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Wyznacz promień kuli :
a). opisanej na tym ostrosłupie,
b). wpisanej w ten ostrosłup.

pierwsze wyszło mi bez najmniejszego problmu, jednak częsci B nie umiem.. ;/

2. W kulę o promieniu R wpisano stożek o wyskokości H, gdzie H>R. Oblicz cosinus kąta rozwarcia
stożka.

3. Promień podstawy stożka jest dwa razy dłuższy od promienia kuli wpisanej w ten stożek. Oblicz cosinus kąta rozwarcia stożka.

[anka]

1 b)
Promień kuli wpisanej w ostrosłup jest równy promieniowi okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny o podstawie równej \(2h_p\) i ramionach równych \(h_s\)

\(h_p\) - wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\)
\(h_s\) - wysokość ściany bocznej (policzysz z Pitagorasa)

[anka]

2.

kula wpisane w ostroslup.png (12 KiB) Przejrzano 7125 razy

\(cos\alpha= \frac{H-R}{R}\)

[anka]

3.

kula wpisane w ostroslup 3.ggb.png (8.47 KiB) Przejrzano 7124 razy

\(DBC\) i \(OEC\) są podobne
\(\{\frac{h-r}{r} = \frac{l}{2r} \\h^2+(2r)^2=l^2\)

\(\{h= \frac{8}{3}\\l= \frac{10}{3} r\)

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(ABC\)

\((2r)^2=l^2+l^2-2l^2\cos\alpha\)
\(cos\alpha= \frac{l^2-8r^2}{l^2}\\cos\alpha=1- \frac{8r^2}{l^2}\\cos\alpha=1- 8(\frac{r}{l})^2\\cos\alpha=1- 8(\frac{r}{\frac{10}{3} r})^2\\cos\alpha=1- 8 \cdot \frac{9}{100}\\cos\alpha= \frac{7}{25}\)

[Karla98_]

3.

kula wpisane w ostroslup 3.ggb.png

\(DBC\) i \(OEC\) są podobne
\(\{\frac{h-r}{r} = \frac{l}{2r} \\h^2+(2r)^2=l^2\)

\(\{h= \frac{8}{3}\\l= \frac{10}{3} r\)

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(ABC\)

\((2r)^2=l^2+l^2-2l^2\cos\alpha\)
\(cos\alpha= \frac{l^2-8r^2}{l^2}\\cos\alpha=1- \frac{8r^2}{l^2}\\cos\alpha=1- 8(\frac{r}{l})^2\\cos\alpha=1- 8(\frac{r}{\frac{10}{3} r})^2\\cos\alpha=1- 8 \cdot \frac{9}{100}\\cos\alpha= \frac{7}{25}\)

dlaczego 2r do kwadratu , wydaje mi sie ze 4r ale wtedy wynik jest błędny

[Galen]

r to promień kuli wpisanej
2r to promień koła będącego podstawą stożka (4r to jest średnica podstawy stożka).
W tw.cosinusów jest literówka:
Powinno być:
\((4r)^2=l^2+l^2-2l^2 cos\alpha\\16r^2=2l^2(1-cos\alpha)\\1-cos\alpha= \frac{16r^2}{2l^2}=8 \cdot \frac{r^2}{l^2}\\cos\alpha=1-8\cdot \frac{r^2}{l^2}=1- \frac{8r^2}{ \frac{100}{9}r^2 }=1- \frac{72}{100}=\\= \frac{28}{100}= \frac{7}{25}\)