Prostopadłościan wpisany w stożek

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
wdsk
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 64
Rejestracja: 17 sty 2009, 14:25

Prostopadłościan wpisany w stożek

Post autor: wdsk » 23 kwie 2009, 12:49

Dany jest stożek o promieniu postawy \(26cm\). Rozpatrzmy zbiór wszystkich prostopadłościanów wpisanych w ten stożek, w których stosunek długości krawędzi podstawy jest równy \(5:12\). Jedna podstawa każdego prostopadłościanu zawiera się w podstawie stożka, a wierzchołki drugiej podstawy należą do powierzchni bocznej stożka. Znajdź wymiary podstawy tego prostopadłościanu, który ma największe pole powierzchni bocznej.

Pol
Moderator
Moderator
Posty: 1026
Rejestracja: 01 gru 2008, 11:00
Lokalizacja: Częstochowa
Otrzymane podziękowania: 137 razy
Płeć:

Post autor: Pol » 23 kwie 2009, 14:51

wysokość stożka nie jest podana? bez niej stożek może być dowolny i nie ma od czego uzależnić wysokości prostopadłościanu

Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6571
Rejestracja: 30 sty 2009, 00:25
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1112 razy
Płeć:

Post autor: anka » 23 kwie 2009, 15:08

10 i 24?
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.

wdsk
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 64
Rejestracja: 17 sty 2009, 14:25

Post autor: wdsk » 23 kwie 2009, 15:10

Nie ma, przepisałem dokładnie tak jak jest w książce. Zadanie pochodzi z drugiej części zbioru zadań Andrzeja Kiełbasy i Piotra Łukasiewicza "Matematyka. Matura '09/'10", numer zadania 652.

Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6571
Rejestracja: 30 sty 2009, 00:25
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1112 razy
Płeć:

Post autor: anka » 23 kwie 2009, 15:13

czy 10 i 24 to dobra odpowiedź?
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.

wdsk
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 64
Rejestracja: 17 sty 2009, 14:25

Post autor: wdsk » 23 kwie 2009, 15:14

anka pisze:czy 10 i 24 to dobra odpowiedź?
Tak. Możesz przedstawić rozwiązanie?

Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6571
Rejestracja: 30 sty 2009, 00:25
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1112 razy
Płeć:

Post autor: anka » 23 kwie 2009, 15:26

Przekrój stożka i prostopadłościanu przechodzący przez przekątną podstawy prostopadłościanu
Prostopadłościan wpisany w stożek.png
5a-krawędź podstawy
12-krawędź podstawy
H-wysokośc stożka
h-wysokość prostopadłościanu
Z Pitagorasa przekatna podstawy = 13a
Z podobieństwa trójkątów
\(\frac{H-h}{6,5a}=\frac{H}{26}\\
h=\frac{H(4-a)}{4}\)


Pole boczne=34ah
\(P_{b}=34ah\\
P_{b}(a)=34a\cdot \frac{H(4-a)}{4}\)

\(P'_{b}(a)=(34a\cdot \frac{H(4-a)}{4})'=34H-17aH\\
P'_{b}(a)=0\\
34H-17aH=0\\
a=2\)


5a=10
12a=24
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.

wdsk
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 64
Rejestracja: 17 sty 2009, 14:25

Post autor: wdsk » 23 kwie 2009, 15:32

Co oznacza \(frac\) i apostrofy?

Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6571
Rejestracja: 30 sty 2009, 00:25
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1112 razy
Płeć:

Post autor: anka » 23 kwie 2009, 15:33

Juz poprawiłam frac to symbol dla ułamka :D
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.

wdsk
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 64
Rejestracja: 17 sty 2009, 14:25

Post autor: wdsk » 23 kwie 2009, 15:34

A co oznacza \(P'_{b}\)? Pochodną?

Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6571
Rejestracja: 30 sty 2009, 00:25
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1112 razy
Płeć:

Post autor: anka » 23 kwie 2009, 15:36

Tak, pochodna powierzchni bocznej.
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.

wdsk
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 64
Rejestracja: 17 sty 2009, 14:25

Post autor: wdsk » 23 kwie 2009, 15:39

Miałem pochodne w szkole, ale w latach 2009-2010 nie obowiązują one na maturze i to zadanie musi dać się rozwiązać inną drogą. Znasz sposób rozwiązania odpowiedni dla zakresu materiału na maturze '09-'10?

Pol
Moderator
Moderator
Posty: 1026
Rejestracja: 01 gru 2008, 11:00
Lokalizacja: Częstochowa
Otrzymane podziękowania: 137 razy
Płeć:

Post autor: Pol » 23 kwie 2009, 15:40

współrzędna x-owa wierzchołka paraboli ze zmienną "a"

Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6571
Rejestracja: 30 sty 2009, 00:25
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1112 razy
Płeć:

Post autor: anka » 23 kwie 2009, 15:40

\(P_{b}(a)=34a\cdot \frac{H(4-a)}{4}\)
Doprowadź to do prostszej postaci.
To funkcja kwadratowa.
Znajdź odciętą wierzchołka paraboli.
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.

Pol
Moderator
Moderator
Posty: 1026
Rejestracja: 01 gru 2008, 11:00
Lokalizacja: Częstochowa
Otrzymane podziękowania: 137 razy
Płeć:

Post autor: Pol » 23 kwie 2009, 15:45

ponieważ nie interesuje cię wartość to przekształcamy wzór na pole i przyrównujemy do 0

\(P_{b}(a)=34a\cdot \frac{H(4-a)}{4} = \frac {34H} 4 (4a - a^2)\\
\frac {34H} 4 (4a - a^2) = 0 \\
4a - a^2 = 0 \\
a_{\text {max}} = x_w = \frac {-b} {2a} = \frac {-4} {-2} = 2\)