Prostopadłościan wpisany w stożek

wdsk · Post autor: **wdsk** » 23 kwie 2009, 12:49

Dany jest stożek o promieniu postawy \(26cm\). Rozpatrzmy zbiór wszystkich prostopadłościanów wpisanych w ten stożek, w których stosunek długości krawędzi podstawy jest równy \(5:12\). Jedna podstawa każdego prostopadłościanu zawiera się w podstawie stożka, a wierzchołki drugiej podstawy należą do powierzchni bocznej stożka. Znajdź wymiary podstawy tego prostopadłościanu, który ma największe pole powierzchni bocznej.

Pol · Post autor: **Pol** » 23 kwie 2009, 14:51

wysokość stożka nie jest podana? bez niej stożek może być dowolny i nie ma od czego uzależnić wysokości prostopadłościanu

anka · Post autor: **anka** » 23 kwie 2009, 15:08

10 i 24?

wdsk · Post autor: **wdsk** » 23 kwie 2009, 15:10

Nie ma, przepisałem dokładnie tak jak jest w książce. Zadanie pochodzi z drugiej części zbioru zadań Andrzeja Kiełbasy i Piotra Łukasiewicza "Matematyka. Matura '09/'10", numer zadania 652.

anka · Post autor: **anka** » 23 kwie 2009, 15:13

czy 10 i 24 to dobra odpowiedź?

wdsk · Post autor: **wdsk** » 23 kwie 2009, 15:14

anka pisze:czy 10 i 24 to dobra odpowiedź?

Tak. Możesz przedstawić rozwiązanie?

anka · Post autor: **anka** » 23 kwie 2009, 15:26

Przekrój stożka i prostopadłościanu przechodzący przez przekątną podstawy prostopadłościanu

: Prostopadłościan wpisany w stożek.png (8.42 KiB) Przejrzano 3332 razy

5a-krawędź podstawy
12-krawędź podstawy
H-wysokośc stożka
h-wysokość prostopadłościanu
Z Pitagorasa przekatna podstawy = 13a
Z podobieństwa trójkątów
\(\frac{H-h}{6,5a}=\frac{H}{26}\\
h=\frac{H(4-a)}{4}\)

Pole boczne=34ah
\(P_{b}=34ah\\
P_{b}(a)=34a\cdot \frac{H(4-a)}{4}\)
\(P'_{b}(a)=(34a\cdot \frac{H(4-a)}{4})'=34H-17aH\\
P'_{b}(a)=0\\
34H-17aH=0\\
a=2\)

5a=10
12a=24

wdsk · Post autor: **wdsk** » 23 kwie 2009, 15:32

Co oznacza \(frac\) i apostrofy?

anka · Post autor: **anka** » 23 kwie 2009, 15:33

Juz poprawiłam frac to symbol dla ułamka

wdsk · Post autor: **wdsk** » 23 kwie 2009, 15:34

A co oznacza \(P'_{b}\)? Pochodną?

anka · Post autor: **anka** » 23 kwie 2009, 15:36

Tak, pochodna powierzchni bocznej.

wdsk · Post autor: **wdsk** » 23 kwie 2009, 15:39

Miałem pochodne w szkole, ale w latach 2009-2010 nie obowiązują one na maturze i to zadanie musi dać się rozwiązać inną drogą. Znasz sposób rozwiązania odpowiedni dla zakresu materiału na maturze '09-'10?

Pol · Post autor: **Pol** » 23 kwie 2009, 15:40

współrzędna x-owa wierzchołka paraboli ze zmienną "a"

anka · Post autor: **anka** » 23 kwie 2009, 15:40

\(P_{b}(a)=34a\cdot \frac{H(4-a)}{4}\)
Doprowadź to do prostszej postaci.
To funkcja kwadratowa.
Znajdź odciętą wierzchołka paraboli.

Pol · Post autor: **Pol** » 23 kwie 2009, 15:45

ponieważ nie interesuje cię wartość to przekształcamy wzór na pole i przyrównujemy do 0

\(P_{b}(a)=34a\cdot \frac{H(4-a)}{4} = \frac {34H} 4 (4a - a^2)\\
\frac {34H} 4 (4a - a^2) = 0 \\
4a - a^2 = 0 \\
a_{\text {max}} = x_w = \frac {-b} {2a} = \frac {-4} {-2} = 2\)