Strona 1 z 1

Obliczanie długości krawędzi i objętości

: 28 maja 2011, 11:04
autor: kasia145_1994
1.Wysokość prostopadłościanu jest o 4 dłuższa od jednej krawędzi podstawy i o 4 krótsza od drugiej krawędzi podstawy. Objętość prostopadłościanu jest o 96 mniejsza od objętości sześcianu, którego krawędź jest równa wysokości prostopadłościanu. Oblicz długości krawędzi podstawy tego prostopadłościanu.

2.Długości krawędzi prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 4. Suma długości tych krawędzi jest równa 18. Oblicz objętość prostopadłościanu.

: 28 maja 2011, 11:26
autor: Galen
a-dłuższa krawędź podstawy
b-krótsza krawędź podstawy
H=wysokość prostopadłościanu
\(H=b+4\;\;\;i\;\;\;H=a-4\;\;\; \Rightarrow \;\;\;b+4=a-4\;\;\; \Rightarrow \;\;\;a=b+8\\
V_p=a \cdot b \cdot H=(b+8) \cdot b \cdot (b+4)=(b^2+8b)(b+4)=b^3+12b^2+32b\\
V_{szescianu}=H^3=(b+4)^3=b^3+12b^2+48b+64\\
V_p=V_{szescianu}-96\)

Podstaw wzory na objętości sześcianu i prostopadłościanu i oblicz długość krawędzi b.
\(b^3+12b^2+32b=b^3+12b^2+48b+64-96\\
-16b=-32\\
b=2\;cm
H=b+4=2+4=6\;cm
H=a-4\;\;\;czyli\;\;\;\;6=a-4\;\;\; \Rightarrow \;\;\;a=10\;cm.\)

Krawędzie podstawy :10 cm i 2 cm

: 28 maja 2011, 11:31
autor: Galen
Zad.2
Długości krawędzi: a , a+4 , a+8.
Suma:
\(a+a+4+a+8=18\\
3a+12=18\\
3a=6\;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;a=2\)

Krawędzie mają długość:2 , 6 , 10.
Objętość:
\(V=2 \cdot 6 \cdot 10=120\)