Prostopadłościan wpisany w ostrosłup

[wdsk]

W ostrosłup prawidłowy sześciokątny, którego krawędź podstawy ma długość \(10\), a wysokość ma długość \(6\sqrt{3}\), wpisujemy prostopadłościany w ten sposób, że jedna podstawa prostopadłościanu zawiera się w podstawie ostrosłupa, a wierzchołki drugiej podstawy należą do krawędzi bocznych ostrosłupa. Oblicz objętość prostopadłościanu o największym polu powierzchni bocznej.

[Pol]

Rysunek 1.



Rysunek 2.

\(a = |AB| = |BG| = |AG| \\
b = |GK| = |IK| = |IG|\)


na rys. 1 czerwonym prostokątem zaznaczono największą podstawę prostopadłościanu, wysokość w tym przypadku równa się 0, kolorem pomarańczowym zaznaczono podstawę prostopadłościanu, który ulegnie analizie

podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach długości \(b\) (z trójkąt równobocznego) oraz \(2\cdot \frac {b sqrt{3}}{2} = b sqrt{3}\) (dwie wysokości trójkątów równobocznych o boku \(b\)

\(a = b + |KB| => |KB| = a - b = 10 - b\)

na rys. 2 wysokość analizowanego prostopadłościanu zaznaczona jest jako odcinek \(|KK'|\), oznaczmy wysokość prostopadłościanu przez \(H_p\), wysokość ostrosłupa oznaczmy jako \(H\), wtedy

\(\tan(\alpha ) = \frac {H} {a} = \frac {H_p} {|KB|} \\
\frac {H} {a} = \frac {H_p} {|KB|} \\
\frac {6 sqrt{3}} {10} = \frac {H_p} {10 - b} \\
H_p = \frac {6 sqrt{3} (10-b)} {10}\)

wzór na pole boczne prostopadłościanu:

\(P_b = 2H_p b + 2H_p b sqrt{3} = 2H_p b(1+\sqrt{3})\)

podstawiamy wyznaczone H_p i mamy wzór

\(P_b = 2 \frac {6 sqrt{3} (10-b)} {10} b(1+\sqrt{3})\)

chcemy zbadać dla jakiego \(b\), \(P_b\) przyjmuje największą wartość, ponieważ nie interesuje nas wartość tego pola, przyrównujemy otrzymany wzór do 0 i dzielimy obustronnie przez \(2 \frac {6 sqrt{3}} {10} (1+\sqrt{3})\) i otrzymamy:

\((10-b)b = 0\)

jest to parabola z ramiona w dół, wystarczy obliczyć wsp. X wierzchołka paraboli (korzystając ze wzoru \(w_x = \frac {-b} {2a}\))

\(b_{max} = \frac {-10} {2\cdot (-1)} = 5\)

można teraz policzyć objętość prostopadłościanu:

\(V = P_p H = b\cdot b sqrt{3} \cdot \frac {6 sqrt{3} (10-b)} {10} = 25 sqrt{3} \cdot 3 sqrt{3} = 25 \cdot 9 = 225\)