Oblicz długość odcinka w prostopadłościanie

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
wdsk
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 64
Rejestracja: 17 sty 2009, 14:25

Oblicz długość odcinka w prostopadłościanie

Post autor: wdsk » 18 kwie 2009, 14:53

Podstawą prostopadłościanu \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) jest kwadrat \(ABCD\), a odcinki \(AA_{1}\), \(BB_{1}\), \(CC_{1}\) i \(DD_{1}\) są krawędziami bocznymi. Oblicz odległość wierzchołka \(B_{1}\) od płaszczyzny \(ACD_{1}\) wiedząc, że \(|AB|=a\) i \(|AA_{1}|=b\).

Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6571
Rejestracja: 30 sty 2009, 00:25
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1112 razy
Płeć:

Post autor: anka » 18 kwie 2009, 15:29

Oblicz długość odcinka w prostopadłościanie.png
Szukana odległość to długość odcinka \(FB_{1}\), czyli wysokość trójkąta \(D_{1}EB_{1}\)

\(|D_{1}B_{1}|=a sqrt2\)

Obliczam \(|D_{1}E|=|B_{1}E|\)
\(|D_{1}E|^2=|B_{1}E|^2=(\frac{a sqrt2}{2})^2+b^2\\
|D_{1}E|^2=|B_{1}E|^2=0,5a^2+b^2\\
|D_{1}E|=|B_{1}E|=\sqrt{0,5a^2+b^2}\)


Obliczam \(|D_{1}F|\) i \(|FE|\)
\(\{|D_{1}F|+|FE|=|D_{1}E| \\ (|D_{1}B_{1}|)^2-(|D_{1}F|)^2=(|B_{1}E|)^2-(|FE|)^2\)
\(\{|D_{1}F|+|FE|=\sqrt{0,5a^2+b^2} \\ (a sqrt2)^2-(|D_{1}F|)^2=(\sqrt{0,5a^2+b^2})^2-(|FE|)^2\)
\(\{|D_{1}F|= \frac{a^2 sqrt2}{\sqrt{a^2+2b^2}}\\ |FE|=\frac{\sqrt2(2b^2-a^2)}{2\sqrt{a^2+2b^2}}\)

Obliczam \(|FB_{1}|\)
\(|FB_{1}|^2=|D_{1}B_{1}|^2-|D_{1}F|^2\\
|FB_{1}|^2=(a sqrt2)^2-(\frac{a^2 sqrt2}{\sqrt{a^2+2b^2}})^2\\
|FB_{1}|^2=2a^2-\frac{2a^4}{a^2+2b^2}\\
|FB_{1}|^2=\frac{2a^2(a^2+2b^2)-2a^4}{a^2+2b^2}\\
|FB_{1}|^2=\frac{2a^4+4a^2b^2-2a^4}{a^2+2b^2}\\
|FB_{1}|^2=\frac{4a^2b^2}{a^2+2b^2}\\
|FB_{1}|=\sqrt{\frac{4a^2b^2}{a^2+2b^2}}\\
|FB_{1}|={\frac{2ab}{\sqrt{a^2+2b^2}}}\\\)
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.