Graniastosłup prawidłowy trójkątny+odległość

[czachur]

Takie oto zadanko:

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy długości \(a\) , przekątna ściany bocznej tworzy z sąsiednią ścianą boczną kąt o mierze\(\alpha\). Jaka jest odległość między dwiema prostymi zawierającymi nieprzecinające się przekątne sąsiednich ścian bocznych tego graniastosłupa?

[anka]

\(\frac{a sqrt3 \sqrt{3ctg^2\alpha-1}}{6 ctg\alpha}\)
?

[czachur]

Rozwiązania nie znam, więc bardziej przydałaby się choć jedna wskazówka, a najlepiej tok rozumowania prowadzący do rozwiązania.

[anka]

Graniastosłup prawidłowy trójkątny+odległość.png (15.64 KiB) Przejrzano 1062 razy

DB' rzut prostokątny CB' na płaszczyznę AA'B'B
AD' rzut prostokątny AC' na płaszczyznę AA'B'B

Obliczam |AD'|
\(ctg\alpha=\frac{|AD'|}{|C'D'|}\\
ctg\alpha=\frac{|AD'|}{\frac{a sqrt3}{2}}\\
|AD'|=\frac{a sqrt3 ctg\alpha}{2}\)

Obliczam |AA'|
\(|AA'|^2=|AD'|^2-|A'D'|^2\\
|AA'|^2=(\frac{a sqrt3 ctg\alpha}{2})^2-(\frac{a}{2})^2\\
|AA'|^2=\frac{3a^2 ctg^2\alpha}{4}-\frac{a^2}{4}\\
|AA'|= \frac{a}{2}sqrt{3 ctg^2\alpha-1}\)

Obliczam |DE| (z podobieństwa trójkątów AED i AA'D')
\(\frac{|DE|}{|AD|}=\frac{|AA'|}{|AD'|}\\
\frac{|DE|}{\frac{a}{2}}=\frac{\frac{a}{2}sqrt{3 ctg^2\alpha-1}}{\frac{a sqrt3 ctg\alpha}{2}}\\
|DE|=\frac{\frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}sqrt{3 ctg^2\alpha-1}}{\frac{a sqrt3 ctg\alpha}{2}}\\
|DE|=\frac{a sqrt3 \sqrt{3ctg^2\alpha-1}}{6 ctg\alpha}\)

[anka]

Skleroza, znalazłam kiedyś to rozwiązanie w sieci:
http://www.2shared.com/file/5398771/ae9 ... supy2.html
Wynik ten sam tylko inaczej zapisany

[czachur]

Dziękuję ślicznie