Objętość ostrosłupa

[anka]

Podstawą otrosłupa jest trójkąt ABC, zaś wierzchołkiem punkt W. Krawędź CW jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, a ściana boczna ABW tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(\alpha\) . Każda ściana boczna ostrosłupa ma pole równe \(S\), a promień kuli wpisanej \(R\). Znajdź objętość tego ostrosłupa.

Objętość ostrosłupa.png (23.2 KiB) Przejrzano 545 razy

\(h_{s}=\frac{H}{sin\alpha}\\
h_{p}=\frac{H}{tg\alpha}\\
P_{p}=Scos\alpha\)

Mam problem: nie potrafię uzależnić \(H\) od \(R\).

[Pol]

połącz wszystkie wierzchołki ostrosłupa ze środkiem kuli, otrzymasz 4 małe ostrosłupy o wysokości R i porównaj sumę objętości 4 ostrosłupów z objętością dużego ostrosłupa

[anka]

Proszę o całe rozwiązanie.

[Pol]

na Twoim rysunku wystarczy pociągnąć następujące odcinki:
AO, BO, CO, WO

otrzymasz ostrosłupy:
ABWO, BCWO, ACWO, ABCO

wysokość każdego z nich równa się R
V(ABWO) = V(BCWO) = V(ACWO) = 1/3 * S * R
V(ABCO) = 1/3 * Pp * R
Pp jak obliczyłaś wcześniej równa się Scos(alpha)

V(ABWO) + V(BCWO) + V(ACWO) + V(ABCO) = V(ABCW)
3 * 1/3 * S * R + 1/3 * S * cos(alpha) * R = 1/3 * S * cos(alpha) * H
3 * S * R + S * cos(alpha) * R = S * cos(alpha) * H
H = (3 * R + R*cos(alpha)) / cos(alpha)

V(ABCW) = 1/3 * (3 * R + R*cos(alpha)) / cos(alpha) * S * cos(alpha) = S * R(3 + cos(alpha)) / 3

[anka]

Bardzo dziękuję.
Rysunek trochę poprawiłam.

Wyznaczam \(H\)
\(h_s= \frac{H}{h_s}\)
\(h_s= \frac{H}{sin\alpha}\)

Wyznaczam \(h_p\)
\(tg\alpha= \frac{H}{h_p}\)
\(h_p= \frac{H}{tg\alpha}\)

Wyznaczam krawędź podstawy \(a\)
\(S= \frac{ah_s}{2}\)
\(a= \frac{2S}{h_s}\)
\(a= \frac{2S}{\frac{H}{sin\alpha} }\)
\(a= \frac{2S sin\alpha}{H}\)

Wyznaczam pole podstawy
\(P_p= \frac{ah_p}{2}\)
\(P_p= \frac{\frac{2S sin\alpha}{H} \cdot \frac{H}{tg\alpha}}{2}\)
\(P_p=S cos\alpha\)

Obliczam V ostrosłupa
\(V_{ABWO}=V_{BCWO}= V_{ACWO}= \frac{1}{3} SR\)
\(V_{ABCO} = \frac{1}{3}P_pR =\frac{1}{3} \cdot S cos\alpha R= \frac{1}{3} SR cos\alpha\)

\(V_{ABCW}=V_{ABWO} + V_{BCWO} + V_{ACWO} + V_{ABCO}\)
\(V_{ABCW}=3 \cdot \frac{1}{3} SR + \frac{1}{3} SR cos\alpha\)
\(V_{ABCW}=SR(1+\frac{1}{3}cos\alpha)\)