Stożek wpisany w kulę

[bunio244]

W kulę wpisano stożek. Tworząca stożka jest nachylona do podstawy pod kątem \(60^ \circ\). Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli.

[Lbubsazob]

Czyli jak to sobie przekroisz, to masz trójkąt równoboczny wpisany w koło.

Oznaczamy \(r\) - promień podstawy stożka. Z zależności w trójkącie równobocznym mamy: \(H=r\sqrt3\), czyli objętość stożka: \(V= \frac{\pi r^3\sqrt3}{3}\).
Promień kuli to \(\frac{2}{3}\) wysokości stożka, więc \(R= \frac{2r\sqrt3}{3}\). Objętość kuli: \(V_2= \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{r^3 \cdot 24\sqrt3}{27}= \frac{32r^3\sqrt3}{27}\).

Stosunek: \(\frac{V}{V_2}= \frac{\pi r^3\sqrt3}{3} \cdot \frac{27}{32\pi r^3\sqrt3}= \fbox{\frac{9}{32}}\).

[bunio244]

chyba coś Ci nie pykło przecież to nawet nie jest logiczne, żeby coś co jest w środku kuli miało większą objętość niż sama kula mi wyszło \(\frac{9}{32}\) sprawdzi ktoś?

[Lbubsazob]

Teraz jest ok.

[bunio244]

ok dzięki

[Huberto]

Pomocy
Potrzebuje tego zadania tutaj już nie wiem ile powinno wyjść

[Galen]

Lbubsazob ma dobrze.
\(\frac{V_s}{V_k}= \frac{ \frac{\pi r^3 \sqrt{3} }{3} }{ \frac{32\pi r^3 \sqrt{3} }{27} }= \frac{\pi r^3 \sqrt{3} }{3} \cdot \frac{27}{32\pi r^3\sqrt{3}}= \frac{27}{3 \cdot 32}= \frac{9}{32}\)