Objętość graniastosłupa zad. z matury próbnej 2009

[Majka123]

Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną, przechodzącą przez środek ciężkości górnej podstawy i krawędź dolnej podstawy, pod kątem 45 do dolnej podstawy. Pole otrzymanego przekroju wynosi "pięć pierwiastków z szejściu" ( 5* /``6 ). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

[anka]

Objętość graniastosłupa zad. z matury próbnej 2009.png (20.23 KiB) Przejrzano 482 razy

Wyznaczam \(|ED|\)
Punkt G jest punktem przecięcia się środkowych trójkąta.
Z podobieństwa trójkątów ACB i DEB
\(\frac{|BG|}{|BF|}=\frac{|ED|}{|AC|}=\frac{2}{3}\)
Środkowe trójkąta przecinają się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.
\(|ED|=\frac{2}{3}|AC|\\
|ED|=\frac{2}{3}a\)
Wyznaczam \(|F'G'|\)
\(|F'G'|=\frac{1}{3}|F'B'|\\
|F'G'|=\frac{1}{3} \cdot \frac{a sqrt3}{2}\\
|F'G'|=\frac{a sqrt3}{6}\)
Wyznaczam \(|F'G|\)
\(cos45^o=\frac{|F'G'|}{|F'G|}\\
\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\frac{a sqrt3}{6}}{|F'G|}\\
|F'G|=\frac{a sqrt6}{6}\)
Obliczam \(a\)
\(P_{A'DEC'}=\frac{(|C'A'|+|ED|) \cdot |F'G|}{2}\\
P_{A'DEC'}=\frac{(a+\frac{2}{3}a) \cdot \frac{a sqrt6}{6}}{2}\\
P_{A'DEC'}=\frac{5a^2 sqrt6}{18}\\
5 sqrt6=\frac{5a^2 sqrt6}{36}\\
a=6\)
Obliczam \(H\)
\(tg45^o=\frac{|GG'|}{|F'G'|}\\
1=\frac{|GG'|}{\frac{a sqrt3}{6}}\\
|GG'|=\frac{a sqrt3}{6}\\
|GG'|=\frac{6 sqrt3}{6}\\
|GG'|= sqrt3\)
Obliczam \(V\)
\(V= \frac{a^{2} sqrt3}{4}\cdot H\\
V=\frac{6^{2} sqrt3}{4}\cdot sqrt3\\
V=27\)

[Majka123]

Bardzo dziękuję

Mam tylko jedno pytanie, skąd w tego typu zadaniach wiemy że przekrój jest trapezem a nie trójkątem ?

[anka]

Bo przechodzi przez środek ciężkości górnej podstawy.