Objętość graniastosłupa zad. z matury próbnej 2009

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Majka123
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 69
Rejestracja: 26 lip 2008, 10:42

Objętość graniastosłupa zad. z matury próbnej 2009

Post autor: Majka123 » 24 mar 2009, 15:34

Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną, przechodzącą przez środek ciężkości górnej podstawy i krawędź dolnej podstawy, pod kątem 45 do dolnej podstawy. Pole otrzymanego przekroju wynosi "pięć pierwiastków z szejściu" ( 5* /``6 ). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6570
Rejestracja: 30 sty 2009, 00:25
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1110 razy
Płeć:

Post autor: anka » 25 mar 2009, 01:52

Objętość graniastosłupa zad. z matury próbnej 2009.png
Wyznaczam \(|ED|\)
Punkt G jest punktem przecięcia się środkowych trójkąta.
Z podobieństwa trójkątów ACB i DEB
\(\frac{|BG|}{|BF|}=\frac{|ED|}{|AC|}=\frac{2}{3}\)
Środkowe trójkąta przecinają się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.
\(|ED|=\frac{2}{3}|AC|\\
|ED|=\frac{2}{3}a\)

Wyznaczam \(|F'G'|\)
\(|F'G'|=\frac{1}{3}|F'B'|\\
|F'G'|=\frac{1}{3} \cdot \frac{a sqrt3}{2}\\
|F'G'|=\frac{a sqrt3}{6}\)

Wyznaczam \(|F'G|\)
\(cos45^o=\frac{|F'G'|}{|F'G|}\\
\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\frac{a sqrt3}{6}}{|F'G|}\\
|F'G|=\frac{a sqrt6}{6}\)

Obliczam \(a\)
\(P_{A'DEC'}=\frac{(|C'A'|+|ED|) \cdot |F'G|}{2}\\
P_{A'DEC'}=\frac{(a+\frac{2}{3}a) \cdot \frac{a sqrt6}{6}}{2}\\
P_{A'DEC'}=\frac{5a^2 sqrt6}{18}\\
5 sqrt6=\frac{5a^2 sqrt6}{36}\\
a=6\)

Obliczam \(H\)
\(tg45^o=\frac{|GG'|}{|F'G'|}\\
1=\frac{|GG'|}{\frac{a sqrt3}{6}}\\
|GG'|=\frac{a sqrt3}{6}\\
|GG'|=\frac{6 sqrt3}{6}\\
|GG'|= sqrt3\)

Obliczam \(V\)
\(V= \frac{a^{2} sqrt3}{4}\cdot H\\
V=\frac{6^{2} sqrt3}{4}\cdot sqrt3\\
V=27\)
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.

Majka123
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 69
Rejestracja: 26 lip 2008, 10:42

Post autor: Majka123 » 25 mar 2009, 10:48

Bardzo dziękuję :)

Mam tylko jedno pytanie, skąd w tego typu zadaniach wiemy że przekrój jest trapezem a nie trójkątem ?

Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6570
Rejestracja: 30 sty 2009, 00:25
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1110 razy
Płeć:

Post autor: anka » 25 mar 2009, 16:09

Bo przechodzi przez środek ciężkości górnej podstawy.
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.