Bryła obrotowa

[ziutekpl]

W trójkącie ABC bok AB ma długośc k, a kąty ostre do niego przyległe mają miary alfa i beta. Trójkat ten obraca się wokół osi równoległej do boku AB i przechodzącej przez wierzchołek C. Oblicz objętość bryły.

[anka]

Bryła obrotowa.png (10.69 KiB) Przejrzano 895 razy

Objętość szukanej bryły będzie równa
objętość walca-(objętość górnego stożka+objętość dolnego stożka)

Wyznaczam \(h_{1}\)
\(tg\alpha= \frac{r}{h_{1}}\\
h_{1}=\frac{r}{tg\alpha}\)

Wyznaczam \(h_{2}\)
\(tg\beta= \frac{r}{h_{2}}\\
h_{2}=\frac{r}{tg\beta}\)

Obliczam \(r\)
\(h_{1}+h_{2}=k\\
\frac{r}{tg\alpha}+\frac{r}{tg\beta}=k\\
r(\frac{1}{tg\alpha}+\frac{1}{tg\beta})=k\\
r\frac{tg\beta+tg\alpha}{tg\alpha tg\beta}=k\\
r=\frac{ktg\alpha tg\beta}{tg\alpha+tg\beta}\\\)

Obliczam \(V\) bryły
\(V=\pi r^2(h_{1}+h_{2})-(\frac{1}{3}\pi rh_{1}+\frac{1}{3}\pi rh_{2})\\
V=\frac{2}{3}\pi r^2(h_{1}+h_{2})\\
V=\frac{2}{3}\pi r^2k\)

Podstawiasz r i liczysz