Walec

[max04]

Witam,
mam bardzo trudne zadanko z działu "bryły obrotowe".

Jakby ktoś umiał to bardzo proszę o rozwiązanie od początku do końca,
dzięki z góry

Treść:
W walec wpisano prostopadłościan o dłuższej krawędzi podstawy k. Przekątna prostopadłościanu tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(\alpha\), a ze ścianą boczną zawierającą dłuższą krawędź podstawy kąt \(\beta\).
Obliczyć pole powierzchni bocznej walca.

[anka]

walec...png (24.99 KiB) Przejrzano 3359 razy

Wyznaczam \(h\)
Z trójkąta ACC'
\(sin\alpha=\frac{h}{d}\\
h=dsin\alpha\)

Wyznaczam \(a\)
Z trójkąta ABC'
\(sin\beta=\frac{a}{d}\\
a=dsin\beta\)

Obliczam\(d\) i \(r\)
\(\begin{cases} h^2+(2r)^2=d^2 \\ (2r)^2=a^2+k^2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} (dsin\alpha)^2+4r^2=d^2 \\ 4r^2=(dsin\beta)^2+k^2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} d^2sin^2\alpha+4r^2=d^2 \\ 4r^2=d^2sin^2\beta+k^2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 4r^2=d^2 -d^2sin^2\alpha\\ 4r^2=d^2sin^2\beta+k^2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 4r^2=d^2(1-sin^2\alpha)\\ 4r^2=d^2sin^2\beta+k^2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 4r^2=d^2cos^2\alpha\\ 4r^2=d^2sin^2\beta+k^2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 4r^2=d^2cos^2\alpha\\ d^2cos^2\alpha=d^2sin^2\beta+k^2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 4r^2=d^2cos^2\alpha\\ d^2cos^2\alpha-d^2sin^2\beta=k^2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 4r^2=d^2cos^2\alpha\\ d^2(cos^2\alpha-sin^2\beta)=k^2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 4r^2=d^2cos^2\alpha\\ d^2=\frac{k^2 }{cos^2\alpha-sin^2\beta}\end{cases}\)
\(\begin{cases} 4r^2=d^2cos^2\alpha\\ d=\frac{k}{ \sqrt{cos^2\alpha-sin^2\beta}} \end{cases}\)
\(\begin{cases} 4r^2=(\frac{k}{ \sqrt{cos^2\alpha-sin^2\beta}})^2cos^2\alpha\\ d=\frac{k}{ \sqrt{cos^2\alpha-sin^2\beta}} \end{cases}\)
\(\begin{cases} 4r^2=\frac{k^2cos^2\alpha}{ cos^2\alpha-sin^2\beta}\\ d=\frac{k}{ \sqrt{cos^2\alpha-sin^2\beta}} \end{cases}\)
\(\begin{cases} r^2=\frac{k^2cos^2\alpha}{ 4(cos^2\alpha-sin^2\beta)}\\ d=\frac{k}{ \sqrt{cos^2\alpha-sin^2\beta}} \end{cases}\)
\(\begin{cases} r=\frac{kcos\alpha}{ 2 \sqrt{cos^2\alpha-sin^2\beta} }\\ d=\frac{k}{ \sqrt{cos^2\alpha-sin^2\beta}} \end{cases}\)

Obliczam \(h\)
\(h=dsin\alpha\\
h=\frac{k}{ \sqrt{cos^2\alpha-sin^2\beta}}sin\alpha\\
h=\frac{ksin\alpha}{ \sqrt{cos^2\alpha-sin^2\beta}}\)

Obliczam \(P_{b}\)
\(P_{b}=2\pi rh\\
P_{b}=2\pi \cdot \frac{kcos\alpha}{ 2 \sqrt{cos^2\alpha-sin^2\beta} }\cdot \frac{ksin\alpha}{ \sqrt{cos^2\alpha-sin^2\beta}}\\
P_{b}=\frac{2\pi k^2cos\alpha sin\alpha}{ 2 (cos^2\alpha-sin^2\beta)}\\
P_{b}=\frac{\pi k^2cos\alpha sin\alpha}{ cos^2\alpha-sin^2\beta}\)