Stereometria

[Terror]

Oblicz objętość piramidy o krawędzi bocznej L oraz kącie dwuściennym równym alfa ? Pomocy Nic innego nie dostałem tylko takie pytanie od Profesora.

[anka]

Stereometria.png (25.53 KiB) Przejrzano 345 razy

Zakładam, że chodzi o kąt dwuścienny między sąsiednimi ścianami.
Piramida to ostrosłup czworokątny prawidłowy.
|AB|=|BC|=a
Obliczam |AE|
Trójkąty AFS i ABE są podobne
\(\frac{|AS|}{|AF|}=\frac{|AB|}{|AE|}\\
\frac{L}{\frac{a}{2}}=\frac{a}{|AE|}\\
|AE|=\frac{a^2}{2L}\)
Obliczam |EB|
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABE
\(|EB|^2+|AE|^2=|AB|^2\\
|EB|^2+(\frac{a^2}{2L})^2=a^2\\
|EB|^2=a^2-\frac{a^4}{4L^2}\\
|EB|^2=\frac{4a^2L^2-a^4}{4L^2}\\
|EB|^2=\frac{a^2(4L^2-a^2)}{4L^2}\\
|EB|=\frac{a\sqrt{4L^2-a^2}}{2L}\)
\(2L>a\)
Obliczam \(a\)
Trójkąt BDE jest równoramienny
\(sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{|BO|}{|EB|}\\
sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{a\sqrt2}{2}}{\frac{a\sqrt{4L^2-a^2}}{2L}}\\
sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{L\sqrt2}{\sqrt{4L^2-a^2}}\\
sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{2L^2}{4L^2-a^2}\\
4L^2-a^2=\frac{2L^2}{sin^2{\frac{\alpha}{2}}}\\
a^2=4L^2-\frac{2L^2}{sin^2{\frac{\alpha}{2}}}\\
a^2=\frac{4L^2sin^2{\frac{\alpha}{2}}-2L^2}{sin^2{\frac{\alpha}{2}}}\\
a^2=\frac{2L^2(2sin^2{\frac{\alpha}{2}}-1)}{sin^2{\frac{\alpha}{2}}}\\
a^2=\frac{2L^2(-cos\alpha)}{sin^2{\frac{\alpha}{2}}}\\
a=\frac{L\sqrt{-2cos\alpha}}{sin{\frac{\alpha}{2}}}\)
(\(\alpha\) jest kątem rozwartym, więc pod pierwiastkiem będzie liczba dodatnia)
Obliczam \(H\)
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AOS
\(|AO|^2+|SO|^2=|AS|^2\\
(\frac{a\sqrt2}{2})^2+H^2=L^2\\
H^2=L^2-\frac{a^2}{2}\\
H^2=L^2-\frac{\frac{2L^2(-cos\alpha)}{sin^2{\frac{\alpha}{2}}}}{2}\\
H^2=L^2-\frac{L^2(-cos\alpha)}{sin^2{\frac{\alpha}{2}}}\\
H^2=L^2+\frac{L^2cos\alpha}{sin^2{\frac{\alpha}{2}}}\\
H^2=L^2(1+\frac{cos\alpha}{sin^2{\frac{\alpha}{2}}})\\
H=L\sqrt{(1+\frac{cos\alpha}{sin^2{\frac{\alpha}{2}}})}\\
H=\frac{L}{sin{\frac{\alpha}{2}}}\sqrt{sin^2{\frac{\alpha}{2}}+cos\alpha}\\
H=\frac{L}{sin{\frac{\alpha}{2}}}\sqrt{sin^2{\frac{\alpha}{2}}+1-2 sin^2{\frac{\alpha}{2}}}\\
H=\frac{L}{sin{\frac{\alpha}{2}}}\sqrt{1-sin^2{\frac{\alpha}{2}}}\\
H=\frac{L}{sin{\frac{\alpha}{2}}}\sqrt{cos^2{\frac{\alpha}{2}}}\\
H=\frac{L cos{\frac{\alpha}{2}}}{sin{\frac{\alpha}{2}}}\\
H=Lctg{\frac{\alpha}{2}}\)
Sprawdz tylko czy gdzieś w przekształceniach się nie pomyliłam.
Z objętością już chyba sobie poradzisz.