Valec

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kamilj90
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 86
Rejestracja: 02 lut 2009, 13:31

Valec

Post autor: kamilj90 » 05 mar 2009, 21:37

Oblicz stosunek długości promienia r podstawy walca do jego wysokości h, jeżeli przy objętości \(V = 1\) ma najmniejsze pole powierzchni. :?:

Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6570
Rejestracja: 30 sty 2009, 00:25
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1110 razy
Płeć:

Post autor: anka » 05 mar 2009, 23:55

Wyznaczam \(h\)
\(V=\pi r^2h=1\\
h=\frac{1}{\pi r^2}\)

Wyznaczam \(P_{c}\)
\(P_{c}=2\pi r^2+2\pi rh\\
P_{c}=2\pi r^2+2\pi r \frac{1}{\pi r^2}\\
P_{c}=2\pi r^2+\frac{2}{r}\)

Obliczam \(P'_{c}\)
\(P'_{c}=(2\pi r^2+\frac{2}{r})'=4\pi r -\frac{2}{r^2}\)
Obliczam \(r\), dla którego pole będzie minimalne
\(4\pi r -\frac{2}{r^2}=0\\
4\pi r^3-2=0\\
r= \sqrt[3]{ \frac{1}{2\pi} }\\
r= \frac{1}{\sqrt[3]{{2\pi} }}\\
r=2^{ -\frac{1}{3} } \pi ^{ -\frac{1}{3} }\)


Obliczam \(h\)
\(h=\frac{1}{\pi [2^{ -\frac{1}{3} } \pi ^{ -\frac{1}{3} }]^2}\\
h=\frac{1}{\pi 2 ^{ -\frac{2}{3} } \pi ^{ -\frac{2}{3} }}\\
h=\frac{1}{2 ^{ -\frac{2}{3} } \pi ^{ \frac{1}{3} }}\\
h=2 ^{ \frac{2}{3} } \pi ^{- \frac{1}{3} }\\
\frac{r}{h}=\frac{1}{2}\)


Tyle, że nadal gdzieś u kogoś jest błąd bo wyniki są inne.

W każdym razie sprawdziłam i dla
\(r=2^{ -\frac{1}{3} } \pi ^{ -\frac{1}{3} }\)
i
\(h=2 ^{ \frac{2}{3} } \pi ^{- \frac{1}{3} }\)

\(V=1\)
Ostatnio zmieniony 05 mar 2009, 23:59 przez anka, łącznie zmieniany 1 raz.
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.

kamilj90
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 86
Rejestracja: 02 lut 2009, 13:31

Post autor: kamilj90 » 06 mar 2009, 00:00

dzięki ;)