Graniastosłup prawidłowy trójkątny, objętość

[m.milewska]

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekątne ścian bocznych wychodzące z tego samego wierzchołka mają długość P i tworzą kąt ALFA. Oblicz objetość tego ostrosłupa.

Odpowiedź:
\(V=\frac{\sqrt{3}}{2}P^{3}(1-cosALFA){\sqrt{2cosALFA-1}\)

[anka]

Graniastosłup prawidłowy trójkątny, objętość.png (11.45 KiB) Przejrzano 4595 razy

Obliczam \(a\)
\(sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{1}{2}a}{p}\\
a=2psin{\frac{\alpha}{2}}\\
a=2p\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}}\)
Obliczam \(h\)
\(h^2=p^2-a^2\\
h^2=p^2-(2p\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}})^2\\
h^2=p^2-4p^2(\frac{1-cos\alpha}{2})\\
h^2=p^2(1-4\cdot\frac{1-cos\alpha}{2})\\
h^2=p^2(1-2+2os\alpha)\\
h^2=p^2(2cos\alpha-1)\\
h=p\sqrt{2cos\alpha+1}\)
Obliczam \(V\)
\(V=\frac{a^2\sqrt3}{4}h\\
V=\frac{(2p\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}})^2\sqrt3}{4}\cdot p\sqrt{2cos\alpha+1}\\
V=\frac{\frac{4\sqrt3 p^2\cdot(1-cos\alpha)}{2}}{4}\cdot p\sqrt{2cos\alpha+1}\\
V=\frac{\sqrt3}{2}p^3(1-cos\alpha)\sqrt{2cos\alpha+1}\)