ostrosłup

[booka69]

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny o podstawie a i kącie \(\alpha\) i przy podstawie. Wszystkie krawędzi boczne tworzą z wysokością ostrosłupa kąt \(\alpha\)

dla \(\alpha\) = 60stopni - oblicz cosinus kąta nachylenia płaszczyzny ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

[anka]

Podstawą jest trójkąt równoramienny o kącie przy podstawie równym \(60^o\), czyli jest to trójkąt równoboczny.
Wszystkie krawędzi boczne tworzą z wysokością ostrosłupa kąt \(\alpha\), czyli tworzą równe kąty również z płaszczyzną podstawy.
Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równe (lub jeśli wszystkie krawędzie boczne tworzą z płaszczyzną podstawy równe kąty), to na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg, a środkiem tego okręgu jest spodek wysokości ostrosłupa.
Ponieważ podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny, więc spodek wysokości będzie punktem przecięcia się wysokości tego trójkąta.

Obliczam |AD|
\(|AD|=\frac{a sqrt3}{2}\)
Obliczam |AE|
Wysokości trójkąta równobocznego przecinają się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.
\(|AE|=\frac{2}{3}|AD|\\
|AE|=\frac{2}{3}\cdot\frac{a sqrt3}{2}\\
|AE|=\frac{a sqrt3}{3}\)
Obliczam |FE|
\(tg60^o=\frac{|AE|}{|FE|}\\
\sqrt3=\frac{\frac{a sqrt3}{3}}{|FE|}\\
|FE|=\frac{a}{3}\)
Obliczam |ED|
\(|ED|=\frac{1}{3}|AD|\\
|ED|=\frac{1}{3}\cdot\frac{a sqrt3}{2}\\
|ED|=\frac{a sqrt3}{6}\)
Obliczam |DF|
\(|DF|^2=|ED|^2+|FE|^2\\
|DF|^2=(\frac{a sqrt3}{6})^2+(\frac{a}{3})^2\\
...\\
|DF|^2=\frac{7a}{36}\\
|DF|=\frac{a\sqrt7}{6}\)
Obliczam \(cos\beta\)
\(cos\beta=\frac{|ED|}{|DF|}\\
cos\beta=\frac{\frac{a sqrt3}{6}}{\frac{a\sqrt7}{6}}\\
cos\beta=\frac{\sqrt3}{\sqrt7}\\
cos\beta=\frac{\sqrt{21}}{7}\)

[booka69]

dzięki wielkie !!! : DDD