Strona 1 z 1

Kula wpisana w stożek

: 04 lut 2009, 22:35
autor: endus
Pole powierzchni całkowitej stożka jest dwa razy większe od pola powierzchni kuli wpisanej w ten stożek. Oblicz kosinus kąta nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy stożka.

: 05 lut 2009, 22:00
autor: anka
Kula wpisana w stożek.png
Kula wpisana w stożek.png (12.08 KiB) Przejrzano 5924 razy
Z podobieństwa trójkątów DBC i OEC
\(\cos\alpha=\frac{r}{l}\\
cos\alpha=\frac{R}{h-R}\\
\frac{r}{l}=\frac{R}{h-R}\\
Rl=r(h-R)\\
Rl=rh-rR\\
Rl+rR=rh\\
R(l+r)=rh\\
R=\frac{rh}{l+r}\)

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DBC
\(h=\sqrt{l^2-r^2}\)
\(R=\frac{r\sqrt{l^2-r^2}}{l+r}\\
....\\
R^2=\frac{r^2(l-r)}{l+r}\)

Z warunków zadania mamy
\(P_{s}=2P_{k}\\
\pi r(r+l)=2\cdot 4\pi R^2\\
r(r+l)=8 R^2\\
r(r+l)=8 \cdot \frac{r^2(l-r)}{l+r}\\
(r+l)^2=8r(l-r)\\
r^2+2rl+l^2-8rl+8r^2=0\\
9r^2-6rl+l^2=0\\
(3r-l)^2=0\\
r=\frac{1}{3}l\)

Obliczam \(cos \alpha\)
\(cos \alpha=\frac {r}{l}\\
cos \alpha=\frac {\frac{1}{3}l}{l}\\
cos \alpha=\frac {1}{3}\)