Graniastosłupy

[rooza]

1.Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez, którego boki mają długość a,a,a,2a. Wysokość graniastosłupa jest równa przekatnej jego podstawy. Wyznacz długości jego przekątnych i miary kątów, pod którymi te przekątne nachylone są do płaszczyzny podstawy, oraz oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa.

2. Podstawa graniastosłupa prostego jest deltoid o dwóch przeciwległych katach prostych i kącie ostrym mającym miarę 60 stopni. Krótszy bok deltoidu ma długość a, a przekatne dwóch większych ścian bocznych tworzą kąt o mierze 30 stopni. Oblicz objetość graniastosłupa.

[anka]

Obliczam |AE|
\(|AE|=(|AB|-|DC|):2\\
|AE|=(2a-a):2\\
|AE|=\frac{a}{2}\)
Obliczam |EB|
\(|EB|=|AB|-|AE|\\
|EB|=2a-\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}\)
Obliczam |DE|
\(|DE|^2=|AD|^2-|AE|^2\\
|DE|^2=a^2-(\frac{a}{2})^2\\
|DE|^2=a^2-\frac{a^2}{4}\\
|DE|^2=\frac{3a^2}{4}\\
|DE|=\frac{a sqrt{3}}{2}\)
Obliczam |DB|
\(|DB|^2=|DE|^2+|EB|^2\\
|DB|^2=(\frac{a sqrt{3}}{2})^2+(\frac{3a}{2})^2\\
|DB|^2=\frac{3a^2}{4}+\frac {9a^2}{4}\\
|DB|^2=3a^2\\
|DB|=a sqrt{3}=H\)
Obliczam |DB'| (podstawą jest trapez równoramienny, więc przekątne będą równe)
\(|DB'|=|DB|^2+|BB'|^2\\
|DB'|^2=2(a sqrt{3})^2\\
|DB'|^2=6a^2\\
|DB'|=a sqrt{6}\)
Obliczam \(sin\alpha\)
\(sin\alpha=\frac{|BB'|}{|DB'|}\\
sin\alpha=\frac{a sqrt{3}}{a sqrt{6}}\\
sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\alpha=45^o\)
Obliczam \(P_{p}\)
\(P_{p}=\frac{(2a+a)\cdot \frac{a sqrt{3}}{2}}{2}\\
P_{p}=\frac{3a^2 sqrt{3}}{4}\)
Obliczam \(P_{b}\)
\(P_{b}=3aH+2aH\\
P_{b}=3a\cdot a sqrt{3}+2a\cdot a sqrt{3}\\
P_{b}=3a^2 sqrt{3}+2a^2 sqrt{3}\\
P_{b}=5a^2 sqrt{3}\)
Obliczam \(P_{c}\)
\(P_{c}=2P_{p}+P{b}\\
P_{c}=2\cdot \frac{3a^2 sqrt{3}}{4}+5a^2 sqrt{3}\\
P_{c}=6,5 a^2 sqrt{3}\)
Obliczam V
\(V=P_{p}\cdot H\\
V=\frac{3a^2 sqrt{3}}{4} \cdot a sqrt{3}\\
V=\frac{9a^2 sqrt{3}}{4}\)

[rooza]

Dzięki:)