Ostrosłupy

[Qmpel]

Proszę pomóżcie z tymi dwoma zadaniami
1) Wyznacz wysokość prawidłowego ostrosłupa trójkątnego, którego krawędź
podstawy ma długość a, a pole powierzchni bocznej jest dwukrotnie większe od
pola podstawy.
2)Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny, którego podstawa ma długość
6cm, a wysokość 9cm. Krawędzie boczne mają po 13cm długości. Oblicz długość
wysokości ostrosłupa.
Z góry dziękuję

[anka]

Zadanie 1
\(H\)-wysokość ostrosłupa
\(h\)-wysokość podstawy
\(h _{1}\) - wysokośc ściany bocznej
\(h= \frac{a \sqrt{3} }{2}\)
Obliczam \(h _{1}\)
\(P _{b} =\frac{3ah _{1}}{2} \\
P _{p} = \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}\\
P _{b}=2P _{p}\\
\frac{3ah _{1}}{2} =2 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}\\
h _{1}= \frac{a \sqrt{3} }{3}\)
Obliczam \(H\)
Wysokośći w trójkącie równobocznym przecinają się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka
\(H^2=(h _{1})^2-( \frac{1}{3} h)^2\\
H^2=(\frac{a \sqrt{3} }{3})^2-( \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2})^2\\
H^2= \frac{a^2}{3}- \frac{a^2}{12}\\
H^2= \frac{a^2}{4} \\
H= \frac{a}{2}\)

[anka]

Zadanie 2
Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równe, to na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg, a środkiem tego okręgu jest spodek wysokości ostrosłupa.

Obliczam |BC|
\(|BC|^2=|FB|^2+|FE|^2\\
|BC|^2=3^3+9^2\\
|BC|^2=9+81\\
|BC|^2=90\\
|BC|=3\sqrt{10}\)
Obliczam |DB| (DB=R)
\(\frac{|BC|}{sin\alpha}=2R\\
sin\alpha= \frac{|CF|}{|BC|}\\
sin\alpha= \frac{9}{3 \sqrt{10} }\\
sin\alpha= \frac{3 \sqrt{10} }{10}\)
\(2R= \frac{3 \sqrt{10} }{\frac{3 \sqrt{10} }{10}}\\
2R=10\\
R=5\)
Obliczam H
\(H^2=|EB|^2-R^2\\
H^2=13^2-9^2\\
H^2=169-25\\
H^2=144\\
H=12\)

[Qmpel]

Wielkie dzięki Aniu