Krawędź podstawy graniastosłupa

[agnieszkaijustyna]

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość a. Jaką wysokość powinien mieć ten graniastosłup aby trójkąt zbudowany z przekątnej ściany bocznej dłuższej przekątnej podstawy i krótszej przekątnej graniastosłupa był równoramienny?

[anka]

Obliczam |AD|
\(|AD|=2a\)
Obliczam |DC'|
\(|DC'|^2=a^2+h^2\\
|DC'|=\sqrt{a^2+h^2}\)
Obliczam |AC|
\(\sin60^o=\frac{\frac{|AC|}{2}}{|AB|}\\
\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\frac{|AC|}{2}}{a}\\
|AC|=a sqrt3\)
Obliczam |AC'|
\(|AC'|^2=|AC|^2+h^2\\
|AC'|^2=(a sqrt3)^2+h^2\\
|AC'|^2=3a^2+h^2\\
|AC'|=\sqrt{3a^2+h^2}\)
Obliczam \(h\)
Trójkąt ADC' ma być równoramienny
Mogą zajść dwa przypadki:
I - AC' - podstawa
AD, DC' - ramiona
\(2a=\sqrt{a^2+h^2}\\
4a^2=a^2+h^2\\
h^2=3a^2\\
h=a sqrt{3}\)

II - DC' - podstawa
AD, AC' - ramiona
\(2a=\sqrt{3a^2+h^2}\\
4a^2=3a^2+h^2\\h^2=a^2\\
h=a\)

Wysokość może być równa \(a sqrt{3}\) lub \(a\)

[agnieszkaijustyna]

Dziękuję!