Oblicz stosunek objętości kuli do objętości stożka
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Oblicz stosunek objętości kuli do objętości stożka
W kulę wpsisano stożek, ktorego przekroj osiowy jest trojkatem rownobocznym. Oblicz stosunek objetosci kuli do objetosci stozka.
W przekroju osiowym mamy trójkąt równoboczny wpisany w koło, które jest kołem wielkim kuli.
a- bok trójkąta
R- promień kuli (promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym)
\(R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Objętość kuli:
\(V_k=\frac{4}{3}\pi\cdot(\frac{\Pi\sqrt{3}}{3})^3=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{3\sqrt{3}a^3}{27}=\frac{4\sqrt{3}\pi\ a^3}{27}\)
r- promień podstawy stożka
H- wysokość stożka
\(r=\frac{a}{2}\\H=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Objętośc stożka:
\(V_s=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{a^2}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi\ a^3\sqrt{3}}{24}\)
\(\frac{V_k}{V_s}==\frac{4\pi\sqrt{3}a^3}{27}:\frac{\pi\ a^3\sqrt{3}}{24}=\frac{32}{9}\)
a- bok trójkąta
R- promień kuli (promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym)
\(R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Objętość kuli:
\(V_k=\frac{4}{3}\pi\cdot(\frac{\Pi\sqrt{3}}{3})^3=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{3\sqrt{3}a^3}{27}=\frac{4\sqrt{3}\pi\ a^3}{27}\)
r- promień podstawy stożka
H- wysokość stożka
\(r=\frac{a}{2}\\H=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Objętośc stożka:
\(V_s=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{a^2}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi\ a^3\sqrt{3}}{24}\)
\(\frac{V_k}{V_s}==\frac{4\pi\sqrt{3}a^3}{27}:\frac{\pi\ a^3\sqrt{3}}{24}=\frac{32}{9}\)