8 zadań z graniastosłupem.

[goosc]

1. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna o długości d=12cm tworzy z krawędzią podstawy kąt o mierze \(\alpha\) = 30 stopni. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

2. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy tworzy z przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka kąt o mierze \(\alpha\) . Wiedząc, że sin \(\alpha\) = \(\frac{4}{5}\) oraz przekątna ściany bocznej ma długość d=10cm oblicz objętość i pole powierzchni całkowietej graniastosłupa.

3. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, przekątna ściany bocznej o długości d=6cm tworzy z podstawą kąt o mierze \(\alpha\) = 30stopni. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

4. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym długość promienia okręgu wpisanego w podstawę wynosi r=12cm. Wiedząc, że przekątna ściany bocznej graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \(\alpha\) =60stopni oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

5. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym długość promienia okręgu wpisanego w podstawę wynosi R=12cm. Wiedząc, że przekątna ściany bocznej graniastosłupa tworzy z krawędzia boczną kąt o mierze \(\alpha\) =60stopni oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

6. W graniastosłupie prawidlowym sześciokątnym najdłuższa przekątna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \(\alpha\) . Wiedząc, że tg \(\alpha\) = \(\frac{3}{4}\) oraz wysokość ściany bocznej ma długość 6cm oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

7. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krótsza przekątna podstawy ma długość 6\(\sqrt{3}\) cm i towrzy z krótszą przekątną graniastosłupa kąt o mierze \(\alpha\) = 30stopni. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

8. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o boku długości 12cm i kącie ostrym o mierze \(\alpha\) = 60stopni. Krótsza przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt o mierze \(\beta\) = 45stopni. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

[irena]

1.
a- krawędź podstawy
H- wysokość graniastosłupa
Przekątna graniastosłupa wraz z wysokością (H) i przekątna podstawy (\(a\sqrt{2}\)) tworzy trójkąt prostokątny.
Obliczysz je z zależności:
\(\frac{H}{12}=sin30^o\\\frac{a\sqrt{2}}{12}=cos30^o\)

Objętość: \(V=a^2H\)

Pole powierzchni:
\(P_c=2a^2+4aH\)

[irena]

2.
a- krawędź podstawy
H- wysokość graniastosłupa
Przekątne sąsiednich ścian bocznych wraz z przekątną podstawy tworzą trójkąt równoramienny. Prowadzimy wysokość tego trójkąta dzieli ten trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne.
Krawędź podstawy obliczysz z zależności:
\(\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{10}=cos\alpha\)

\(cos\alpha=\sqrt{1-sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}\)

Z twierdzenia Pitagorasa obliczysz wysokość:
\(H^2=10^2-a^2\)

[irena]

3.
Kąt nachylenia przekątnej do podstawy to kąt między tą przekątną a krawędzią podstawy.
przekątną ściany bocznej wraz z krawędzią podstawy i wysokością graniastosłupa tworzy trójkąt prostokątny.
\(\frac{a}{6}=cos30^o\\\frac{H}{6}=sin30^o\)

[irena]

4.
r- promień okręgu wpisanego w podstawę- trójkąt równoboczny o boku a
\(r=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\\\frac{a\sqrt{3}}{6}=12\)

\(\frac{H}{a}=tg60^o\)

Objetość:
\(V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}H\)

Pole powierzchni:
\(P_c=2\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3aH\)

[irena]

5.
\(\frac{a\sqrt{3}}{6}=12\\\frac{H}{a}=ctg60^o\)