Optymalizacja

[Rahel]

Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe sześciokątne, których przekrojem osiowym jest prostokąt o obwodzie 40.
a)Oblicz długość krawędzi podstawy i wysokość tego graniastosłupa, którego objętość jest największa.
b)Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa przyjmując oznaczenia: a-długość krawędzi podstawy, H-wysokość graniastosłupa

[Jerry]

Zrób schludny rysunek, przyjmij oznaczenia jak w punkcie b). Zauważ, że przekrojem osiowym jest prostokąt o bokach \(2a\times H\), czyli \(4a+2H=40\iff H=20-2a\) i objętość graniastosłupa opisuje funkcja
\[v(a)=6\cdot{a^2\sqrt3\over4}\cdot(20-2a)=3\sqrt3(-a^3+10a^2)\wedge a\in(0;10)\]
Pozostaje wskazać i uzasadnić, że wartość największa jest dla \(a={20\over3}\); obliczyć objętość i pole powierzchni tego graniastosłupa.

Pozdrawiam