W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 60 stopni. Wyznacz stosunek długości promienia kuli opisanej na tym ostrosłupie do długości promienia kuli wpisanej w ten ostrosłup.
Z góry dziękuję
Bryła wpisana w bryłę
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Kat nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt, jaki tworzy wysokość ściany bocznej z promieniem okręgu wpisanego w podstawę. Trójkąt utworzony przez wysokości dwóch przeciwległych ścian bocznych i odcinek łączący środki przeciwległych boków podstawy (kwadratu- jest to odcinek równy długości boku tego kwadratu) jest trójkątem równoramiennym. Jeśli jest to kąt \(60^o\), to trójkąt ten jest trójkątem równobocznym, czyli wysokość ściany bocznej jest równa krawędzi podstawy. Wysokość ostrosłupa jest wysokością trójkąta równobocznego.
a- krawędź podstawy
\(H=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)- wysokość ostrosłupa
Jeśli narysujemy przekrój ostrosłupa płaszczyzną zawierającą wysokości przeciwległych ścian bocznych. to otrzymamy trójkąt równoboczny. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest koło wielkie kuli wpisanej w ostrosłup. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a (promień kuli wpisanej w ten ostrosłup)- r:
\(r=\frac{1}{3}H\\r=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)
Jeśli narysujemy przekrój ostrosłupa płaszczyzną zawierającą przeciwległe krawędzie boczne ostrosłupa, to otrzymamy trójkąt równoramienny, w którym ramionami są krawędzie boczne, a podstawą- przekątna podstawy. Koło opisane na tym trójkącie to koło wielkie kuli opisanej na tym ostrosłupie.
Ściana boczna ostrosłupa to trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości a.
b- krawędź boczna
\(a^2+(\frac{a}{2})^2=b^2\\b^2=\frac{5}{4}a^2\\b=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
Promień okręgu opisanego można obliczyć z pola trójkąta:
\(P=\frac{a\sqrt{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}\cdot(\frac{a\sqrt{5}}{2})^2}{4R}\\\frac{a^2\sqrt{6}}{4}=\frac{a\sqrt{2}\cdot\frac{5a^2}{4}}{4R}\\R\sqrt{3}=\frac{5}{4}a\\R=\frac{5a}{4\sqrt{3}}\)
Stosunek promieni:
\(\frac{R}{r}=\frac{5a}{4\sqrt{3}}:\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{5}{2}\)
a- krawędź podstawy
\(H=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)- wysokość ostrosłupa
Jeśli narysujemy przekrój ostrosłupa płaszczyzną zawierającą wysokości przeciwległych ścian bocznych. to otrzymamy trójkąt równoboczny. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest koło wielkie kuli wpisanej w ostrosłup. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a (promień kuli wpisanej w ten ostrosłup)- r:
\(r=\frac{1}{3}H\\r=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)
Jeśli narysujemy przekrój ostrosłupa płaszczyzną zawierającą przeciwległe krawędzie boczne ostrosłupa, to otrzymamy trójkąt równoramienny, w którym ramionami są krawędzie boczne, a podstawą- przekątna podstawy. Koło opisane na tym trójkącie to koło wielkie kuli opisanej na tym ostrosłupie.
Ściana boczna ostrosłupa to trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości a.
b- krawędź boczna
\(a^2+(\frac{a}{2})^2=b^2\\b^2=\frac{5}{4}a^2\\b=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
Promień okręgu opisanego można obliczyć z pola trójkąta:
\(P=\frac{a\sqrt{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}\cdot(\frac{a\sqrt{5}}{2})^2}{4R}\\\frac{a^2\sqrt{6}}{4}=\frac{a\sqrt{2}\cdot\frac{5a^2}{4}}{4R}\\R\sqrt{3}=\frac{5}{4}a\\R=\frac{5a}{4\sqrt{3}}\)
Stosunek promieni:
\(\frac{R}{r}=\frac{5a}{4\sqrt{3}}:\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{5}{2}\)