obrót trójkąta

[msylwia91]

W trójkącie ABC AC=7, BC=8 zaś \(\angle ABC=60 \circ\) . Oblicz V bryły powstałej z obrotu trójkąta ABC wokół prostej zawierającej bok AC.


odpowiedzi: \(400 \pi/7\) ; \(144 \pi /7\)
Z góry dziękuję

[irena]

Oznaczyłam |AB|=c
Z twierdzenia cosinusów:
\(|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2|AB||BC|cos60^o\\7^2=c^2+8^2-16c\cdot\frac{1}{2}\\c^2-8c+15=0\\\Delta=64-60=4\\c_1=\frac{8-2}{2}=3\ \vee \ c_2=5\)

Jeśli c=3, to \(8^2>7^2+3^2\), czyli trójkąt ABC jest rozwartokątny.

Jeśli c=5, to \(8^2<7^2+5^2\), czyli trójkąt ABC jest ostrokątny.

Jeśli c=3, to objętość bryły powstałej z obrotu trójkąta ABC jest różnicą objętości dwóch stożków o wspólnej podstawie. Jeśli oznaczymy r- promień wspólnej podstawy, H- wysokość stożka większego, a h- mniejszego, to H-h=|AC|=7. Objętość powstałej bryły:
\(V=\frac{1}{3}\pi\ r^2H-\frac{1}{3}\pi\ r^2h=\frac{1}{3}\pi\ r^2(H-h)=\frac{1}{3}\pi\ r^2\cdot7=\frac{7}{3}\pi\ r^2\)

Oznaczyłam \(| \angle ACB|=\alpha\). Z twierdzenia sinusów:
\(\frac{|AB|}{sin\alpha}=\frac{|AC|}{sin60^o}\\\frac{3}{sin\alpha}=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\sin\alpha=\frac{3\sqrt{3}}{14}\)

\(\frac{r}{|BC|}=sin\alpha\\\frac{r}{8}=\frac{3\sqrt{3}}{14}\\r=\frac{12\sqrt{3}}{7}\)

Objętość bryły:
\(V=\frac{7}{3}\pi\cdot\frac{144\cdot3}{49}=\frac{144}{7}\pi\)

Jeśli c=5, to objętość bryły powstałej w wyniku obrotu trójkąta ABC jest sumą objętości dwóch stożków. W tym wypadku jest H+h=|AC|=7. Objętość powstałej bryły:
\(V=\frac{1}{3}\pi\ r^2H+\frac{1}{3}\pi\ r^2h=\frac{1}{3}\pi\ r^2(H+h)=\frac{1}{3}\pi\ r^2\cdot7=\frac{7}{3}\pi\ r^2\)

Z twierdzenia sinusów:
\(\frac{5}{sin\alpha}=\frac{7}{sin60^o}\\sin\alpha=\frac{5\sqrt{3}}{14}\)

\(\frac{r}{8}=\frac{5\sqrt{3}}{14}\\r=\frac{20\sqrt{3}}{7}\)

Objętość bryły:
\(V=\frac{7}{3}\pi\cdot\frac{400\cdot3}{49}=\frac{400}{7}\pi\)

[Galen]

Oblicz |AB| = c z tw.kosinusów w trójkącie ABC
49 =64+cc-2*8*c*cos60 [cos60 =1/2]
cc - 8c + 15 = 0
c = 3 lub c=5
Mamy zatem dwa trójkąty,które trzeba obracać.Powstaje bryła złożona z dwóch stożków o wspólnej
podstawie.
I przypadek:Promień PB to wysokość trójkąta o bokach 3 , 7 ,8 i kącie 60 stopni
Porównaj pole trójkąta i oblicz |PB|
(1/2)*3*8*sin60 = (1/2)*7*|PB|
|PB| =[12*pierw.3]/7 ---------- promień podstawy stożków
V =(1/3)pi[(12 pierw.3)/7]^2 *|PC| + (1/3)pi[(12 pierw.3)/7]^2 * |AP| =
=(1/3)pi[(12 pierw.3)/7]^2 *(PC + AP) = [144 pi]/7 [|PC|+|AP| = |AC| = 7

II przypadek:Promień PB to wysokość trójkąta o bokach 5 , 7 , 8 i kącie 60 stopni.
Oblicz |PB| porównując pole liczone na dwa sposoby.
(1/2)*7*|PB| = (1/2)*5*8*sin60
|PB| = [20 pierw.3]/7 -----promień podstawy stożków
V =....tak samo jak wcześniej tylko z tym promieniem...=[400 pi]/7