przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

[inter]

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego przekrój jest pięciokątem foremnym o boku \(a\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

[Jerry]

W skrócie:

1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku (na który wreszcie znalazłem czas):
   001.jpg
2. Z pięciokąta foremnego:
   • \(|TN|=c=a\sin36^\circ\)
   • \(|TM|=d=a\cos36^\circ\)
   • \(|GT|=b={a\over2}\ctg18^\circ-c=\frac{\ctg18^\circ-2\sin36^\circ}{2}a\)
3. \(|BQ|={a\over2}+b\cos\alpha=|QC|=|QD|\)
4. \(\begin{cases}|TQ|=b\sin\alpha\\ |ME|=({a\over2}+b\cos\alpha-d)\tg\beta\\ |TQ|=|ME|\end{cases}\So\tg\beta={2b\sin\alpha\over a+2b\cos\alpha-2d}\)
5. \((b+c)\sin\alpha=|NF|=\left({a\over2}+b\cos\alpha-c\cos\alpha\right)\cdot\tg\beta\\
   (b+c)\sin\alpha=\left({a\over2}+b\cos\alpha-c\cos\alpha\right)\cdot{2b\sin\alpha\over a+2b\cos\alpha-2d}\\
   \ldots\\ \cos\alpha={2bd+2cd-ac\over 4bc}=\ldots\)

Pozostaje wstawić wartości z 1., doliczyć (zabrakło mi samozaparcia), wyznaczyć \(\sin\alpha,\ \tg\beta\) i ostatecznie
\[V_O={1\over3}\cdot 4\cdot{1\over2}\cdot|BQ|^2\cdot|BQ|\cdot\tg\beta={2\over3}\cdot\left({a\over2}+b\cos\alpha\right)^3\cdot\tg\beta=\ldots\]
Pozdrawiam

PS

\(\alpha\approx32^\circ,\ \tg\beta\approx1,009\\V_O\approx1,507a^3\)