Ostrosłup prawidłowy czworokątny.

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1538
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1616 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Ostrosłup prawidłowy czworokątny.

Post autor: Januszgolenia » 28 kwie 2021, 06:18

Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej wynosi d. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz te największa objętość.

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1229
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 10 razy
Otrzymane podziękowania: 591 razy

Re: Ostrosłup prawidłowy czworokątny.

Post autor: Jerry » 28 kwie 2021, 11:09

Niech \(x\in(0;{1\over2}d)\) będzie długością promienia okręgu opisanego na kwadracie podstawy. Wtedy:
-) krawędź podstawy ma długość \(x\sqrt2\)
-) wysokość ostrosłupa ma długość \(\sqrt{(d-x)^2-x^2}=\sqrt{d^2-2dx}\)
i objętość ostrosłupa opisuje funkcja:
\(v(x)={1\over3}\cdot 2x^2\cdot \sqrt{d^2-2dx}={2\over3}\sqrt{d^2x^4-2dx^5}\) określona dla \(x\in(0;{1\over2}d)\).
Rozpatrzmy funkcję:
\(y=f(x)=d^2x^4-2dx^5\wedge\ D=(0;{1\over2}d)\)
-) \(y'=f'(x)=4d^2x^3-10dx^5=-10dx^3\left(x+{\sqrt{10}\over5}d\right)\left(x-{\sqrt{10}\over5}d\right)\wedge\ D'=D\)
-) \(y'=0\iff x={\sqrt{10}\over5}d\) i pochodna zmienia swój znak z dodatniego na ujemny, czyli
\(y_{\max}=f\left({\sqrt{10}\over5}d\right)=\ldots\)
Pozostaje skomentować przejście na maksymalną wartość \(v(x)\), np.:
Dla każdego \(x\in D\) mamy
\(f(x)\le f\left({\sqrt{10}\over5}d\right)\\ {2\over3}\sqrt{f(x)}\le{2\over3}\sqrt{ f\left({\sqrt{10}\over5}d\right)}\\ v(x)\le{2\over3}\sqrt{ f\left({\sqrt{10}\over5}d\right)}\)
i sformułować odpowiedź

Pozdrawiam
PS. Rachunki, jak zwykle, do sprawdzenia

[edited] poprawka po poniższym
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

kamil887
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 07 kwie 2014, 20:23
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: Ostrosłup prawidłowy czworokątny.

Post autor: kamil887 » 03 maja 2021, 23:33

Zadanie jest z matury z term. dodatkowego 2020. Ma ktoś oficjalny klucz do tego? Szukam też arkusza z fizyki PR term. dodatkowy i matematyka, egzamin ósmoklasisty term. dodatkowy 2020. Proszę o kontakt, jeśli ktoś posiada.

Co do samego zadania, to dziedziną powinno być \((0, {1\over2}d)\); po pierwsze można sobie wyobrazić ostrosłup o nieskończenie małej wysokości, wtedy \(R=L\), a ich suma daje D. Najbardziej profesjonalnie jest rozwiązać nierówność: \(h>0\) (czyli zawartość pierwiastka jest większa od 0)
Ostatnio zmieniony 03 maja 2021, 23:44 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości na wniosek usera

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1229
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 10 razy
Otrzymane podziękowania: 591 razy

Re: Ostrosłup prawidłowy czworokątny.

Post autor: Jerry » 03 maja 2021, 23:46

kamil887 pisze:
03 maja 2021, 23:33
... dziedziną powinno być \((0, {1\over2}d)\)...
Masz rację, już poprawiam

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .