Stożek wpisany i opisany na ostrosłupie

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
alksandra4
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 05 gru 2020, 20:38
Podziękowania: 2 razy

Stożek wpisany i opisany na ostrosłupie

Post autor: alksandra4 » 03 sty 2021, 22:24

Treść zadania:
Na stożku o promieniu podstawy \(R\) opisano ostrosłup prawidłowy prostokątny, a w stożek
ten wpisano ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Stosunek pól powierzchni bocznych obu ostrosłupów wynosi \(k\). Wyznacz zakres zmienności parametru \(k\), a dla \(k = {11 \over 8}\) oblicz wysokość stożka i wykonać staranne rysunki rozważanych brył

Mój sposób:
Wysokość obu ostrosłupów i stożka oznaczyłam jako H

1) Ostrosłup prawidłowy prostokątny
W związku z tym, że okrąg jest wpisany w kwadrat, to bok kwadratu \(a = 2R\)
By policzyć pole powierzchni bocznych większego ostrosłupa, wyznaczam wysokość trójkąta (ściany bocznej) \(h_1= \sqrt{R^2 + H^2}\)
Pole powierzchni bocznych większego ostrosłupa:\( P_{bc_1} = 4 \cdot 0,5 \cdot 2R \cdot \sqrt{R^2 + H^2}\)

2) Ostrosłup prawidłowy sześciokątny
W związku z tym, że sześciokąt jest wpisany w okrąg, to bok sześciokąta \(b= R\)
Dzielę sześciokąt na 6 mniejszych trójkątów równobocznych i wyliczam ich wysokość = \({R\sqrt3\over2}\)
Wyznaczam wysokość ściany bocznej mniejszego ostrosłupa \(h_2= \sqrt{{3R^2\over4} + H^2}\)
Pole powierzchni bocznych mniejszego ostrosłupa: \(P_{bc_2} = 6 \cdot 0,5 \cdot R \cdot \sqrt{{3R^2\over4} + H^2}\)

Założyłam, że\( k = {P_{bc_1}\over P_{bc_2}}\) i ostatecznie wyszło mi, że \(k = {4\over3}\cdot \sqrt{{4(R^2 + H^2)\over 4H^2 + 3R^2}}\)

W tym momencie stanęłam. Miałam pomysł, by wyliczyć zakres zmienności H, ale nie za bardzo wiem jak. Nie jestem pewna, czy mój sposób doprowadzi mnie do rozwiązania zadania. Czy moglibyście mi pomóc? :)
Ostatnio zmieniony 03 sty 2021, 23:52 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: "matematyka" w [tex] [/tex], ściąga z kodu pod emotkami...

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2114
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 15 razy
Otrzymane podziękowania: 913 razy
Płeć:

Re: Stożek wpisany i opisany na ostrosłupie

Post autor: kerajs » 03 sty 2021, 23:40

alksandra4 pisze:
03 sty 2021, 22:24
Założyłam, że k to stosunek Pbc1/Pb2 i ostatecznie wyszło mi, że k = 4/3 * sqrt[4(R^2 + H^2)/(4H^2 + 3R^2]
\(k= \frac{4}{3} \sqrt{ \frac{4H^2+4R^2}{4H^2+3R^2}} = \frac{4}{3} \sqrt{ 1+\frac{R^2}{4H^2+3R^2}} =\frac{4}{3} \sqrt{ 1+\frac{1}{4 \left( \frac{H}{R} \right)^2 +3}} \)
Ograniczenia uzyskasz gdy:
a) \(\frac{H}{R} \to \infty \)
b) \(\frac{H}{R} \to 0\)