objętość ostrosłupa rozszerzenie

[hyprj]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Kąt między krawędzią boczną i podstawą jest równy kątowi płaskiemu przy wierzchołku ostrosłupa. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

[eresh]

\(|AB|=|BC|=|CD|=|AD|=a\\\)
O - spodek wysokości
\(|\angle SCO|=|\angle BSC|=\alpha
\\
|AS|=|BS|=|CS|=|DS|=b\)
trójkąt SOC:
\(\cos\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{|SC|}\\
\cos\alpha=\frac{a\sqrt{2}}{2}\\
b=\frac{a\sqrt{2}}{2\cos\alpha}
\)

trójkąt BCS
\(a^2=b^2+b^2-2b^2\cos\alpha\\
a^2=2b^2-2b^2\cos\alpha\\
a^2=2b^2(1-\cos\alpha)\\
a^2=2\cdot \frac{2a^2}{4\cos^2\alpha}(1-\cos\alpha)\\
\cos^2\alpha+\cos\alpha-1=0\\
\alpha<90^{\circ}\So \cos\alpha>0\\
\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)

\(b=\frac{a\sqrt{2}}{2\cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{5}-1}\)

\(H^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=b^2\\
H^2+\frac{2a^2}{4}=\frac{2a^2}{6-2\sqrt{5}}\\
H^2=\frac{a^2}{3-\sqrt{5}}-\frac{a^2}{2}\\
H^2=\frac{a^2(3+\sqrt{5})-2a^2}{4}\\
H^2=\frac{a^2(1+\sqrt{5})}{4}\\
H=\frac{a\sqrt{1+\sqrt{5}})}{2}\)

\(V=\frac{1}{3}a^2\cdot \frac{a\sqrt{1+\sqrt{5}})}{2}=...\)