dowód niewymierności przekątnej sześcianu

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 315
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 185 razy
Płeć:

dowód niewymierności przekątnej sześcianu

Post autor: poetaopole » 31 sie 2019, 14:13

Przekątna sześcianu o krawędzi a ma długość \(a \sqrt{2} \), a przekątna jego podstawy ma długość \(a \sqrt{3} \). Uzasadnij, że jeśli długość przekątnej sześcianu jest liczba wymierną, to długość przekątnej podstawy jest liczba niewymierną.

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13721
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8075 razy
Płeć:

Re: dowód niewymierności przekątnej sześcianu

Post autor: eresh » 31 sie 2019, 16:28

poetaopole pisze:
31 sie 2019, 14:13
Przekątna sześcianu o krawędzi a ma długość \(a \sqrt{2} \), a przekątna jego podstawy ma długość \(a \sqrt{3} \). Uzasadnij, że jeśli długość przekątnej sześcianu jest liczba wymierną, to długość przekątnej podstawy jest liczba niewymierną.
Chyba błąd w treści:
Sześcian w podstawie ma kwadrat o boku a. Jego przekątna nie może mieć długości \(a\sqrt{3}\)

poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 315
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 185 razy
Płeć:

Re: dowód niewymierności przekątnej sześcianu

Post autor: poetaopole » 01 wrz 2019, 06:47

No tak, zaraz postaram się poprawić treść zadania

poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 315
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 185 razy
Płeć:

Re: dowód niewymierności przekątnej sześcianu

Post autor: poetaopole » 01 wrz 2019, 06:53

Przekątna sześcianu o krawędzi a ma długość \(a \sqrt{3} \), a przekątna jego podstawy ma długość \(a \sqrt{2} \). Uzasadnij, że jeśli długość przekątnej sześcianu jest liczba wymierną, to długość przekątnej podstawy jest liczba niewymierną.

radagast
Guru
Guru
Posty: 16707
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 22 razy
Otrzymane podziękowania: 7052 razy
Płeć:

Re: dowód niewymierności przekątnej sześcianu

Post autor: radagast » 01 wrz 2019, 12:41

No to tak:
załóżmy , że \(a \sqrt{3}= \frac{p}{q} \) przy czym \(p,q \in N \)
wtedy \(a \sqrt{2} = \frac{p \sqrt{2} }{q \sqrt{3}}= \frac{p}{q} \sqrt{6} \)
Jeśli byłaby to liczba wymierna to \(\frac{p}{q} \sqrt{6}= \frac{r}{s} \) przy czym \( r,s \in N \)
czyli \( \sqrt{6}ps =rq\)
czyli \(2 \cdot 3 p^2s^2=r^2q^2\)
rozważmy liczbę dwójek występujących w rozkładzie na czynniki lewej strony powyższej równości : jest nieparzysta
rozważmy liczbę dwójek występujących w rozkładzie na czynniki prawej strony powyższej równości : jest parzysta
-sprzeczność z jednoznacznością rozkładu liczby na czynniki pierwsze, co oznacza , że \(a \sqrt{2} \) jest liczbą niewymierną
cbdo