czworokąty i okręgi - 2 zadania

[crybe]

1. Z punktu P poprowadzono proste styczne do okręgu w punktach X i Y. Punkty X i Y dzielą ten okrąg na dwa łuki, na krótszym łuku wybrano dowolnie punkt Z. Udowodnić, że suma miar kątów |PXZ| i |ZYP| nie zależy od wyboru punktu Z.
2. W czworokącie wypukłym ABCD dwusieczne kątów A i B przecinają się w punkcie M, dwusieczne kątów B i C w punkcie N, dwusieczne kątów C i D w punkcie K, dwusieczne kątów D i A w punkcie L. Wykazać, że jeśli punkty K, L, M, N są wierzchołkami czworokąta, to jest on cykliczny.

[Jerry]

1. Z punktu P poprowadzono proste styczne do okręgu w punktach X i Y. Punkty X i Y dzielą ten okrąg na dwa łuki, na krótszym łuku wybrano dowolnie punkt Z. Udowodnić, że suma miar kątów |PXZ| i |ZYP| nie zależy od wyboru punktu Z.

Zrób schludny rysunek, niech \(Q\) będzie środkiem okręgu i \(|\angle XPY|=\alpha\). Wtedy, kolejno,:

• \(|\angle XQY|=180^\circ-\alpha\) (wypukłego)
• \(|\angle XQY|=180^\circ+\alpha\) (wklęsłego)
• \(|\angle XZY|=90^\circ+{\alpha\over2}\) (wypukłego)
• \(|\angle XZY|=270^\circ-{\alpha\over2}\) (wklęsłego)

i bilansujemy kąty czworokąta \(PYZX\):
\(\alpha+|\angle PYZ|+270^\circ-{\alpha\over2}+|\angle ZXP|=360^\circ\iff|\angle PYZ|+|\angle ZXP|=90^\circ-{\alpha\over2}=const. \ CKD\)

Pozdrawiam

[Jerry]

2. W czworokącie wypukłym ABCD dwusieczne kątów A i B przecinają się w punkcie M, dwusieczne kątów B i C w punkcie N, dwusieczne kątów C i D w punkcie K, dwusieczne kątów D i A w punkcie L. Wykazać, że jeśli punkty K, L, M, N są wierzchołkami czworokąta, to jest on cykliczny.

Przyjmijmy standardowe oznaczenia.
\(\begin{cases}|\angle KLM|=|\angle ALD|=180^\circ-{\alpha\over2}-{\delta\over2}\\
|\angle KNM|=|\angle BNC|=180^\circ-{\beta\over2}-{\gamma\over2}\end{cases}\So\\
\quad\So|\angle KLM|+|\angle KNM|=360^\circ-{\alpha+\beta+\gamma+\delta\over2} =306^\circ-{360^\circ\over2}=180^\circ\)
co jest równoznaczne z cyklicznością czworokąta \(MNLK\).

Pozdrawiam