Planimetria

[jasminka]

Przeciwległe kąty czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg o promieniu \(R=4\) mają miarę \(90^{\circ}\), jak na rysunku.

Zrzut-ekranu-2023-03-24-134750.jpg (20.78 KiB) Przejrzano 839 razy

Przekątne tego czworokąta przecinają się w punkcie \(E\) w taki sposób, że \( \frac{|BE|}{|DE|} = \frac{3}{1} \) oraz \(|AE|= \frac{1}{2}|BD| \).
Wyznacz długości boków tego czworokąta.

[Jerry]

1. Z danych zadania: \(|DE|=2,\ |EB|=6,\ |AE|=4\)
2. z tw. o odcinkach siecznych: \(|CE|\cdot4=6\cdot2\iff |CE|=3\)
3. z \(\Delta DEC\sim \Delta ABE\, (k,k),\quad\Delta DAE\sim \Delta EBC\, (k,k)\) mamy:
   \(|AB|=2\cdot |CD|,\ |BC|={3\over2}\cdot |DA|\)
4. z tw. Pitagorasa:
   \(|DA|^2+|AB|^2=8^2,\ |DC|^2+|CB|^2=8^2\)

Pozostaje rozwiązać układ z tych czterech równań...

Pozdrawiam

PS.

\(|AB|=2\sqrt{10},\ |BC|=3\sqrt6,\ |CD|=\sqrt{10},\ |DA|=2\sqrt6\)