dwa zadania z trapezem

[crybe]

Zadanie 1 Dany jest trapez równoramienny opisany na okręgu. Niech jego pole to 𝑆, obwód
zaś to ℓ. Obliczyć długości boków tego trapezu.

Zadanie 2 Trapez równoramienny 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 jest opisany na okręgu.
Punkty 𝐾 i 𝑁 niech będą punktami styczności tego okręgu do boków 𝐴𝐵 i 𝐷𝐴 odpowiednio.
Odcinek 𝐾𝑁 przecina przekątną 𝐴𝐶 tego trapezu w punkcie 𝑃. Udowodnić, iż jeśli 𝐴𝐵 ∶ 𝐶𝐷 = 3,
to 𝐾𝑃 ∶ 𝑁 𝑃 = 2.

[grdv10]

1. Niech \(a,b\) będą podstawami, zaś \(c\) ramieniem. Stąd \(a+b=2c\) oraz \(a+b+2c=\ell\), więc \(c=\ell/4.\) Dalej, jeśli \(h\) oznacza wysokość trapezu, to\[S=\frac{a+b}{2}\cdot h,\]a skoro \(a+b=2c\), to \(S=ch\), skąd\[h=\frac{S}{c}=\frac{4S}{\ell}.\]Z równoramienności i twierdzenia Pitagorasa mamy\[h^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=c^2,\]zatem\[\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=c^2-h^2=\frac{\ell^2}{16}-\frac{16S^2}{\ell^2}.\]Ale \(b=\ell-a-2c\), więc \(a-b=a-\ell+a+\ell/2=2a-\ell/2,\)co w połączeniu z powyższym równaniem da nam wzór na \(a\). Resztę sobie dolicz.

[Jerry]

Zadanie 2 Trapez równoramienny 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 jest opisany na okręgu.
Punkty 𝐾 i 𝑁 niech będą punktami styczności tego okręgu do boków 𝐴𝐵 i 𝐷𝐴 odpowiednio.
Odcinek 𝐾𝑁 przecina przekątną 𝐴𝐶 tego trapezu w punkcie 𝑃. Udowodnić, iż jeśli 𝐴𝐵 ∶ 𝐶𝐷 = 3,
to 𝐾𝑃 ∶ 𝑁 𝑃 = 2.

1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, z szybkimi wnioskami z tw. o odcinkach stycznych,:

   

2. Ponieważ \(\Delta NDM\sim\Delta AKN\ (k,k)\), to \(|MD|=x\) oraz \(|NK|={3\over4}\cdot|MK|\)
3. \(|MD|=3x=|AK|\), zatem \(AKCM\) jest równoległobokiem. Przekątne równoległoboku się połowią, czyli \(|PK|={1\over2}\cdot|MK|\)

Skąd do tezy zadania blisko

Pozdrawiam
PS. Można zauważyć na rysunku istnienie trójkątów foremnych