geometria płaska

[xenoneq_o0]

Czworokąt \(ABCD\) wpisany jest w okrąg o promieniu \(R=9\), ponadto \( \left|AB\right|= 11, \left|AC\right|= 13, \left|AD\right|= 8\). Wyznacz miary kątów czworokąta \(ABCD\)

[Jerry]

Przyjmijmy standardowe oznaczenia, niech \(|BC|=x>0,\ |CD|=y>0\)

1. Z \(\Delta ABC\) i tw. Snelliusa: \({13\over\sin\beta}=2\cdot9\iff \sin\beta={13\over18}\)
2. Z wielkiej jedynki trygonometrycznej: \(|\cos\beta|={\sqrt{155}\over18}\)
3. Z warunku opisania okręgu na czworokącie: \(\cos\delta+\cos\beta=0\)
4. Z \(\Delta ABC,\ \Delta ACD\) i tw. Carnota:
   \(\begin{cases}13^2=11^2+x^2-2\cdot11\cdot x\cdot{\sqrt{155}\over18}\\
   13^2=8^2+y^2-2\cdot8\cdot y\cdot\left(-{\sqrt{155}\over18}\right)\end{cases}
   \vee \begin{cases}13^2=11^2+x^2-2\cdot11\cdot x\cdot\left(-{\sqrt{155}\over18}\right)\\
   13^2=8^2+y^2-2\cdot8\cdot y\cdot{\sqrt{155}\over18}\end{cases}\)

i do odpowiedzi blisko...

Pozdrawiam

[edited] przeczytałem "wyznacz długości boków", ale... znając \(x,\ y\) można wyznaczyć cosinus \(\alpha\) z:
\[8^2+11^2-2\cdot8\cdot11\cdot\cos\alpha=x^2+y^2-2xy(-\cos\alpha)\]

[xenoneq_o0]

Mój błąd bo nie napisałem na początku, ale chodziło mi o miary kątów tego czworokąta

[xenoneq_o0]

Skąd wiadomo, że \(\cos\delta+\cos\beta=0 \) ? I tak nawiasem mówiąc nie wiem czy tu nie są złe dane podane bo wyniku wychodzą astronomiczne

[eresh]

Skąd wiadomo, że \(\cos\delta+\cos\beta=0 \) ? I tak nawiasem mówiąc nie wiem czy tu nie są złe dane podane bo wyniku wychodzą astronomiczne

Na czworokącie można opisać okrąg, więc \(\delta+\beta=180^{\circ}\So \delta=180^{\circ}-\beta\)
\(\cos\delta=\cos (180^{\circ}-\beta)=-\cos\beta\\
\cos\delta+\cos\beta=0\)

[xenoneq_o0]

Skąd wiadomo, że \(\cos\delta+\cos\beta=0 \) ? I tak nawiasem mówiąc nie wiem czy tu nie są złe dane podane bo wyniku wychodzą astronomiczne

Na czworokącie można opisać okrąg, więc \(\delta+\beta=180^{\circ}\So \delta=180^{\circ}-\beta\)
\(\cos\delta=\cos (180^{\circ}-\beta)=-\cos\beta\\
\cos\delta+\cos\beta=0\)

dobrze już rozumiem

[Jerry]

Doliczyłem, trochę inną drogą,: \(\cos \alpha=-\frac{\sqrt{13601}-44}{162}\approx-0,4483\)

Pozdrawiam
PS. Jak liczyłem - napiszę później

[Jerry]

Prosto do odpowiedzi:

1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
   
   001 (3).jpg
2. Z \(\Delta DAC,\ \Delta ABC\) i tw. Snelliusa: \(\sin\gamma_1={4\over9},\ \sin\gamma_2={11\over18},\ \sin \beta={13\over18}\)
3. Kąty \(\gamma_1,\ \gamma_2\) są ostre, ponieważ są nie największymi kątami wewnętrznymi trójkątów rozwartokątnych, zatem z wielkiej jedynki trygonometrycznej: \(\cos\gamma_1={\sqrt{67}\over9},\ \cos\gamma_2={\sqrt{203}\over18}\)
4. \(\cos\gamma=\cos(\gamma_1+\gamma_2)={\sqrt{67}\over9}\cdot{\sqrt{203}\over18}-{4\over9}\cdot{11\over18}={\sqrt{13601}-44\over162}\)

Odpowiedź:
\(\alpha=\pi-\arccos{\sqrt{13601}-44\over162},\ \min\{\beta,\delta\}=\arcsin{13\over18},\ \max\{\beta,\delta\}=\pi-\arcsin{13\over18},\ \gamma=\arccos{\sqrt{13601}-44\over162}\).

Pozdrawiam

[bracecrop]

I tak nawiasem mówiąc nie wiem czy tu nie są złe dane podane bo wyniku wychodzą astronomiczne [ciach]