pole obszaru między łukami

[inter]

Dany jest kwadrat o boku 1. Oblicz pole obszaru między łukami FB.

[Jerry]

Zauważmy, że \(ABEF\) jest deltoidem o dwóch kątach prostych i \(\overline{AE}\) jest jego przekątną. Niech \(|\angle FAB|=\alpha\), wtedy \(|\angle BEF|=\pi-\alpha\).

1. Z \(\Delta ABE:\tg{\alpha\over2}={1\over2}\So \sin\alpha=\dfrac{2\cdot{1\over2}}{1+\left({1\over2}\right)^2}={4\over5}\wedge \alpha=\arcsin0,8\)
2. Figura, której pole jest szukane jest mnogościową sumą dwóch odcinków kołowych; a te mnogościowymi różnicami sektora kołowego i trójkąta równoramiennego. Zatem
   \(S=\left(\dfrac{\arcsin0,8}{2\pi}\cdot \pi\cdot1^2-{1\over2}\cdot1^2\cdot{4\over5}\right)+\left(\dfrac{\pi-\arcsin0,8}{2\pi}\cdot \pi\cdot({1\over2})^2-{1\over2}\cdot({1\over2})^2\cdot{4\over5}\right)=\ldots\)

Pozdrawiam