Trapez równoramienny

[avleyi]

W trapezie równoramiennym suma długości wysokości i dłuższej podstawy jest równa 16, a kąt ostry przy podstawie ma miarę \(30^{ \circ }\)
a. Jakie długości powinny mieć boki trapezu, aby jego pole było największe?
b. Dla trapezu o wyznaczonych długościach boków oblicz długość promienia okręgu opisanego oraz okręgu wpisanego

[Jerry]

W trapezie równoramiennym suma długości wysokości i dłuższej podstawy jest równa 16, a kąt ostry przy podstawie ma miarę \(30^{ \circ }\)
a. Jakie długości powinny mieć boki trapezu, aby jego pole było największe?

Zrób schludny rysunek, długość wysokości oznacz \(x>0\).
Zauważ istnienie trójkątów charakterystycznych, z których wynika, że
ramię trapezu jest długości \(2x\)
a jego rzut prostokątny na dłuższą podstawę - \(x\sqrt3\).
Zatem dłuższa podstawa
\(a=16-x\)
a krótsza
\(b=16-x-2\cdot x\sqrt3\).
Aby \(b>0\), musi
\(x<\frac{16(2\sqrt3-1)}{11}\).
Pole trapezu opisuje funkcja
\(y=f(x)=\frac{(16-x)+(16-x-2\sqrt3x)}{2}\cdot x=-(\sqrt3+1)x^2+16x\wedge D=\left(0;\frac{16(2\sqrt3-1)}{11}\right)\)
Jako kwadratowa, dla \(x=p=4(\sqrt3-1)\in D\) osiąga wartość największą \(y=q=32(\sqrt3-1)\)
Skąd odpowiedź

Pozdrawiam
PS. Rachunki, jak zwykle, do sprawdzenia

[Jerry]

b. Dla trapezu o wyznaczonych długościach boków oblicz długość promienia okręgu opisanego oraz okręgu wpisanego

Wobec powyższego:

• Promień okręgu wpisanego:
  Gdyby można było wpisać w dany trapez okrąg, to
  \(r={1\over2}x=2(\sqrt3-1)\),
  ale wg mnie - nie można, bo
  \(a+b\ne 2x+2x\)
• Promień okręgu opisanego \(R\):
  1. Przekątna trapezu ma długość \(\sqrt{x^2+(16-x-x\sqrt3)^2}=\ldots=4\sqrt{8-2\sqrt3}\)
  2. z wzoru sinusów: \(R=\frac{4\sqrt{8-2\sqrt3}}{2\sin30^\circ}=4\sqrt{8-2\sqrt3}\)

Pozdrawiam