Równoległobok i punkty

[avleyi]

W równoległoboku \(ABCD\), gdzie \(A=(-5,-3), B=(5,-8), C=(9,-1)\) i \(D=(-1,4)\), punkt \(K\) dzieli bok \(CD\) w stosunku \(4:1\) licząc od \(C\), zaś punkty \(L\) dzieli przekątną \(BD\) w stosunku \(5:1\) licząc od \(B\). Udowodnij, że punkty \(A, K, L\) są współliniowe.

[Jerry]

Ze znanego faktu:
\(K:\begin{cases}x=\frac{1\cdot9+4\cdot(-1)}{1+4}=1\\y=\frac{1\cdot(-1)+4\cdot4}{1+4}=3 \end{cases}\\
L:\begin{cases}x=\frac{1\cdot5+5\cdot(-1)}{1+5}=0\\y=\frac{1\cdot(-8)+5\cdot4}{1+5}=2 \end{cases}\)
i po linii najmniejszego oporu:
Przez punkty \(K,\ L\) przechodzi prosta \(l:y=x+2\), do której należy również punkt \(A\), bo \(-3=-5+2\). Zatem teza zadania jest prawdziwa.

Pozdrawiam

[eresh]

W równoległoboku \(ABCD\), gdzie \(A=(-5,-3), B=(5,-8), C=(9,-1)\) i \(D=(-1,4)\), punkt \(K\) dzieli bok \(CD\) w stosunku \(4:1\) licząc od \(C\), zaś punkty \(L\) dzieli przekątną \(BD\) w stosunku \(5:1\) licząc od \(B\). Udowodnij, że punkty \(A, K, L\) są współliniowe.

\(5\vec{DK}=\vec{DC}\\
5[x_k+1,y_k-4]=[10,-5]\\
x_k+1=2\So x_k=1\\
y_k-4=-1\So y_k=3\\
K(1,3)\)

\(5\vec{DL}=\vec{DB}\\
6[x_l+1,y_l-4]=[6,-12]\\
x_l+1=1\So x_l=0\\
y_l-4=-2\So y_l=2\\
L(0,2)\)

prosta KL:
\(a=\frac{2-3}{0-1}=1\\
y=x+2\)

sprawdzamy, czy A leży na tej prostej:
\(-3=-5+2\\
-3=-3\)
zatem punkty są współliniowe