Planimetria 7

[avleyi]

W okrąg wpisano czworokąt ABCD. Udowodnij, że środki ciężkości trójkątów ABC, CDA, BCD, DAB leżą na jednym okręgu.

[Jerry]

W skrócie...

Zróbmy schludny rysunek, przyjmijmy oznaczenia:

i zauważmy, że:

• \(\Delta YXM\sim\Delta ABM (bkb)\), czyli \(\begin{cases}\overline{YX}\parallel\overline{AB}\\|YX|={1\over3}|AB|\end{cases}\)
• analogicznie można wykazać, że kolejne boki czworokąta \(XYZT\) są równoległe do kolejnych boków czworokąta \(ABCD\) i trzy razy od nich krótsze

Istotnym wnioskiem jest : te czworokąty są do siebie podobne, zatem m.in. jeśli na większym można opisać okrąg, to i na mniejszym. CKD

Pozdrawiam