Planimetria 2

[avleyi]

W trójkącie równoramiennym suma długości ramienia i wysokości wychodzącej z wierzchołka kąta między ramionami wynosi \(s\). Kąt przy podstawie równa się \( \alpha \). Oblicz pole tego trójkąta.

[eresh]

W trójkącie równoramiennym suma długości ramienia i wysokości wychodzącej z wierzchołka kąta między ramionami wynosi \(s\). Kąt przy podstawie równa się \( \alpha \). Oblicz pole tego trójkąta.

b - ramię
2a- podstawa
h - wysokość

\(b+h=s\\
h=s-b\)

\(\sin\alpha=\frac{h}{b}\\
h=b\sin\alpha\\
s-b=b\sin\alpha\\
s=b(\sin\alpha+1)\\
b=\frac{s}{\sin\alpha+1}\)

\(h=s-\frac{s}{\sin\alpha+1}\\
h=\frac{s\sin\alpha}{\sin\alpha+1}\)

\(a^2+h^2=b^2\\
a^2+\frac{s^2\sin^2\alpha}{(\sin\alpha+1)^2}=\frac{s^2}{(1+\sin\alpha)^2}\\
a^2=\frac{s^2(1-\sin^2\alpha)}{(1+\sin\alpha)^2}\\
a=\frac{s\cos\alpha}{1+\sin\alpha}\)

\(P=\frac{1}{2}\cdot 2ah\\
P=ah\)