Zadanie z kołem

[dinuduxu]

Dane jest koło o promieniu \(R\) i punkt \(M\) leżący wewnątrz koła w odległości \(a\) od jego środka. Przez punkt \(M\) poprowadzono średnicę oraz dwie wzajemnie prostopadłe cięciwy, przy czym jedna z nich tworzy ze średnicą kąt \({\pi\over4}\). Znaleźć pole wpisanego w koło czworokąta, dla którego poprowadzone cięciwy są przekątnymi.

[Jerry]

1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, \(a<R\) :
   001.jpg
2. Niech \(|AC|=d>0\). Wtedy \(|BD|=d\) oraz \(|SB|={d\over2}\)
3. Z\(\Delta QMS:\, |QS|={a\sqrt2\over2}\)
4. Z \(\Delta QBS\) i tw. Pitagorasa
   \(\left({d\over2}\right)^2=R^2-\left({a\sqrt2\over2}\right)^2\iff d^2=4R^2-2a^2\)
5. \(S_{ABCD}={1\over2}\cdot d^2=2R^2-a^2\)

Pozdrawiam