Zadanie z planimetrii

[Michal30]

Punkt \(P\) jest punktem wewnętrznym trójkąta \(ABC\). Przez punkt \(P\) prowadzimy proste równoległe do boków trójkąta: \(IH=c'\), \(GF=b'\), \(DE=a'\). Znajdź wartość wyrażenia: \( \frac{a'}{a} + \frac{b'}{b} + \frac{c'}{c} \).

[Jerry]

Lemat:
Jeżeli punkt wewnętrzny \(P\) trójkąta \(ABC\) jest odległy o \(h_a,\, h_b,\, h_c\), odpowiednio, od boków \(a,\, b,\, c\) trójkąta a wysokości trójkąta opuszczone na nie mają długości \(H_a,\, H_b,\, H_c\), to
\[{h_a\over H_a}+{h_b\over H_b}+{h_c\over H_c}=1\]
Dowód:
\(+\underline{\begin{cases}S_{\Delta ABP}={1\over2}\cdot c\cdot h_c={h_c\over H_c}S_{\Delta ABC}\\
S_{\Delta BCP}={1\over2}\cdot a\cdot h_a={h_a\over H_a}S_{\Delta ABC}\\
S_{\Delta CAP}={1\over2}\cdot b\cdot h_b={h_b\over H_b}S_{\Delta ABC}\\\end{cases}}\\
S_{\Delta ABC}=\left({h_a\over H_a}+{h_b\over H_b}+{h_c\over H_c}\right)\cdot S_{\Delta ABC}\)
skąd teza lematu.

1. Przyjmijmy oznaczenia jak w lemacie oraz treści zadania
2. \(\Delta IHC\sim\Delta ABC\,(k.k)\So {c'\over c}={H_c-h_c\over H_c}=1-{h_c\over H_c}\)
3. analogicznie
   \(\begin{cases}{b'\over b}=1-{h_b\over H_b}\\{a'\over a}=1-{h_a\over H_a}\end{cases}\)
4. z 2. i 3.
   \({a'\over a}+{b'\over b}+{c'\over c}=3-\left({h_a\over H_a}+{h_b\over H_b}+{h_c\over H_c}\right)
   \nad{\text{z lematu}}{=}3-1=2\)

Pozdrawiam

[Michal30]

Dziękuję bardzo!