Równoległobok

[avleyi]

Dany jest równoległobok o wierzchołkach ABCD i kącie ostrym przy wierzchołku A. Boki równoległoboku mają długości 10cm i 8cm, a jedna z przekątnych ma długość 14cm. Punkt S jest punktem przecięcia się przekątnych równoległoboku. Oblicz:
a) długość drugiej przekątnej
b) pole równoległoboku
c) długości obu wysokości równoległoboku
d) sinus kąta SAD
e) cosinus kąta rozwartego między przekątnymi
f) promień okręgu opisanego na trójkącie ABD
g) promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC

[Jerry]

Z \(\Delta ABC\) i wzoru cosinusów:
\(14^2=10^2+8^2+2\cdot10\cdot8\cdot\cos\beta\iff\cos\beta=-{1\over5}\So\begin{cases}\cos\alpha={1\over5}\\ \sin\alpha={2\sqrt6\over5}\end{cases}\)

1. z \(\Delta ABD\) i wzoru cosinusów
   \(|DB|^2=10^2+8^2-2\cdot10\cdot8\cdot{1\over5}\So |DB|=2\sqrt{33}\)
2. \(S_{ABCD}=10\cdot8\cdot {2\sqrt6\over5}=32\sqrt6\)
3. \(h_1=\frac{32\sqrt6}{10},\, h_2=\frac{32\sqrt6}{8}\)
4. z \(\Delta ASD\) i wzoru cosinusów
   \(\cos(\angle SAD)=\frac{8^2+7^2-\sqrt{33}^2}{2\cdot8\cdot7}={5\over7}\So \sin(\angle SAD)=\sqrt{1-\left({5\over7}\right)^2}\)
5. z \(\Delta ABS\) i wzoru cosinusów
   \(\cos(\angle BSA)=\frac{7^2+\sqrt{33}^2-10^2}{2\cdot7\cdot\sqrt{33}}\)
6. z \(\Delta ABD\) i wzoru sinusów
   \(R=\frac{|DB|}{2\sin\alpha}=\frac{2\sqrt{33}}{2\cdot{2\sqrt6\over5}}\)
7. z pola \(\Delta ABC\)
   \(r=\frac{{1\over2}\cdot32\sqrt6}{{1\over2}\cdot(10+8+14)}\)

Pozdrawiam
PS. Pamiętaj o mianach, które ja zaniedbałem!