odcinek w kwadracie

[attec18]

Dany jest kwadrat ABCD , N jest punktem styczności, KN=AB/2 oraz NS=18cm. Oblicz długość NO.

[Jerry]

Zrobiłem schludny rysunek, bez ozdobników...
Niech

• \(|AD|=2r>0,\)
• \(|\angle DAO|=\alpha,\)
• \(|\angle KDA|=\beta\),
• prosta \(BN\) przecina \(\overline{DC}\) w punkcie \(M\),
• \(S\) jest o \(h\) odległa od \(\overline{AD}\).

Wtedy

1. \(N\in\overline{AO}\), bo \(\Delta ADN\sim\Delta ADO\), zatem \(S\in\overline{AO}\)
2. \(\tg\alpha={1\over2}\)
3. ponieważ \(|NB|=|AB|\), to \(|BK|=r\)
4. \(\tg\angle MBC=\tg(90^\circ-2\alpha)={3\over4}\)
5. z \(\Delta BMC : |MC|=2r\cdot {3\over4}={3r\over2}\)
   Wniosek: \(M\) jest środkiem \(\overline{DO}\)
6. z 4. \(K\) jest odległy o \({4r\over5},\ {3r\over5}\) od (odpowiednio) boków \(\overline{AB},\,\overline{BC}\), czyli
   \(K\) jest odległy o \({6r\over5},\ {7r\over5}\) od (odpowiednio) boków \(\overline{DC},\,\overline{AD}\). Zatem
   \(\tg\beta={7\over6}\)
7. \(|AD|={h\over\tg\alpha}+{h\over\tg\beta}\So h={7r\over10}={1\over2}\cdot{7r\over5}\), zatem \(S\) jest dwa razy bliżej boku \(\overline{AD}\) niż \(K\).
   Wniosek: \(S\) jest środkiem \(\overline{KD}\)
8. z 5. i 7. \(\overline{KM},\,\overline{SO}\) są środkowymi \(\Delta KDO\) i zachodzi
   \[|NO|=2\cdot|SN|=2\cdot18=36\]

Pozdrawiam
PS. W pierwotnej wersji zajmowałem się tylko odległościami punktów od \(\overline{DC}\), ale Twoja sugestia dotycząca środka ciężkości podziałała i skróciła rozwiązanie

[edited] zmieniłem liternictwo na zgodne z treścią zadania