Fragment matury z 1930 roku - półokrąg, chyba tez trójkąty

[Zenon89]

Witam,
mam nadzieje, ze zadaje pytanie w odpowiednim miejscu.
Trafilem niedawno na fragment egzaminu maturalnego sprzed niemalze 100 lat, gdzie bylo ponizsze zadanie. No i niestety niespecjalnie potrafie sobie z nim poradzic. Chwilami mam wrazenie, ze juz widze sposob, ale do konca jakos niespecjalnie...

Moze ktos z Was mialby chwile, i moglby napisac, jak je rozwiazac?

Ponizej tekst z arkusza maturalnego:

Na srednicy AB + 2R - danego polokregu wzieto dwa punkty C i D tak, ze AC = x i DB = 2x, przyczem punkt D lezy na odcinku CD. Z punktu C wzniesiono prostopadla do srednicy AB, przecinajaca polokrag w punkcie F. Punkty F i D polaczono odcinkiem prostej. Wyznaczyc wielkosc x, jezeli FD = a. Dyskusja wzgledem a.

[radagast]

Przepisz dokładnie treść zadania. To co napisałeś nie ma sensu.

[Jerry]

Na srednicy AB + 2R - danego polokregu wzieto dwa punkty C i D tak, ze AC = x i DB = 2x, przyczem punkt D lezy na odcinku CD. Z punktu C wzniesiono prostopadla do srednicy AB, przecinajaca polokrag w punkcie F. Punkty F i D polaczono odcinkiem prostej. Wyznaczyc wielkosc x, jezeli FD = a. Dyskusja wzgledem a.

Nie wygląda to na oryginalną treść... Przyjmuję, że + to =, i \(D\in\overline{CB}\)

1. Z \(\Delta ABF\) i tw. o średniej geometrycznej mamy: \(|FC|^2=x\cdot(2R-x)\), gdzie \(x\in(0; {2R\over3})\)
2. \(|CD|=2R-3x\)
3. Z \(\Delta CDF\) i tw. Pitagorasa mamy \(x\cdot(2R-x)+(2R-3x)^2=a^2\), gdzie \(a\in(0; 2R)\)
   \[8x^2-10Rx+4R^2-a^2=0\\
   \ldots\\
   x_1=\frac{5R-\sqrt{8a^2-7R^2}}{8}\vee x_2=\frac{5R+\sqrt{8a^2-7R^2}}{8}\text{ o ile } a\ge{\sqrt{14}R\over4}\]
4. Pozostaje sprawdzenie czy \(x_1,\,x_2\), dla \(a\ge{\sqrt{14}R\over4}\), spełniają warunki:
   • \(0<\frac{5R-\sqrt{8a^2-7R^2}}{8}<{2R\over3}\\ \ldots \\ a>{R\over2} \text{ zatem OK }\\ \)
   • \(0<\frac{5R+\sqrt{8a^2-7R^2}}{8}<{2R\over3}\\ \ldots\\ a<{2\sqrt2R\over3}\)
     czyli drugie rozwiązanie pojawia się tylko dla dla \(a\in\left({\sqrt{14}R\over4}; {2\sqrt2R\over3}\right)\)

Pozdrawiam

[Zenon89]

Przepisz dokładnie treść zadania. To co napisałeś nie ma sensu.

Masz niestety racje, faktycznie zobaczylem ze bylo bez sensu... Mea culpa. Teraz wyglada juz w porzadku.

Na srednicy AB = 2R - danego polokregu wzieto dwa punkty C i D tak, ze AC = x i DB = 2x, przyczem punkt D lezy na odcinku CB. Z punktu C wzniesiono prostopadla do srednicy AB, przecinajaca polokrag w punkcie F. Punkty F i D polaczono odcinkiem prostej. Wyznaczyc wielkosc x, jezeli FD = a. Dyskusja wzgledem a.

[Jerry]

Czyli poprawnie "poprawiłem sobie" treść zadania

Pozdrawiam

[Zenon89]

Nie wygląda to na oryginalną treść... Przyjmuję, że + to =, i \(D\in\overline{CB}\)

1. Z \(\Delta ABF\) i tw. o średniej geometrycznej mamy: \(|FC|^2=x\cdot(2R-x)\), gdzie \(x\in(0; {2R\over3})\)
2. \(|CD|=2R-3x\)

Dzieki! Dales rade, mimo ze tresc byla z bledami

Mniej wiecej tak myslalem, jednak "zawiesilem sie" przy probie zapisania \(|FC|\), bo nie znalem (nie pamietalem?), tej zaleznosci ktora opisujesz jako "twierdzenie o sredniej geometrycznej".
W sumie, to na to haslo wyszukiwarka sugeruje wpis w angielskiej Wiki, po polsku nie ma tam takiego artykulu.

[Jerry]

... nie znalem (nie pamietalem?), tej zaleznosci ktora opisujesz jako "twierdzenie o sredniej geometrycznej".
W sumie, to na to haslo wyszukiwarka sugeruje wpis w angielskiej Wiki, po polsku nie ma tam takiego artykulu.

Pod inną nazwą

Pozdrawiam