Trapez wpisany w okrąg oparty na srednicy

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 365
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 199 razy
Płeć:

Trapez wpisany w okrąg oparty na srednicy

Post autor: poetaopole »

Trapez równoramienny ABCD wpisano w okrąg tak, że dłuższa podstawa jest średnicą tego okręgu. Stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw wynosi \(1,5\). Wykaż, że cosinus kąta ostrego trapezu jest równy \( \sqrt{2}-1 \).
Na tę chwilę ustaliłem, że \(a+b=4c\), gdzie \(a\) i \(b\) to podstawy trapezu, a \(c\) jego ramię i że ramię trapezu jest prostopadłe do jednej z przekątnych, co przybliża mnie do znalezienia potrzebnego cosinusa. Ale dalej stoję... Pomoże ktoś?
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Trapez wpisany w okrąg oparty na srednicy

Post autor: eresh »

poetaopole pisze: 08 cze 2022, 06:26 Trapez równoramienny ABCD wpisano w okrąg tak, że dłuższa podstawa jest średnicą tego okręgu. Stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw wynosi \(1,5\). Wykaż, że cosinus kąta ostrego trapezu jest równy \( \sqrt{2}-1 \).
Na tę chwilę ustaliłem, że \(a+b=4c\), gdzie \(a\) i \(b\) to podstawy trapezu, a \(c\) jego ramię i że ramię trapezu jest prostopadłe do jednej z przekątnych, co przybliża mnie do znalezienia potrzebnego cosinusa. Ale dalej stoję... Pomoże ktoś?
CE - wysokość trapezu

\(c=\frac{a+b}{4}\)

trójkąt ABC jest podobny do trójkąta CEB
\(\frac{|EB|}{|BC|}=\frac{|CB|}{|AB|}\\
\frac{\frac{a-b}{2}}{c}=\frac{c}{a}\\
c^2=\frac{a(a-b)}{2}\\
\frac{a^2+2ab+b^2}{16}=\frac{a^2-ab}{2}\\
a^2+2ab+b^2=8a^2-8ab\\
-7a^2+10ab+b^2=0\\
\Delta=100b^2+4\cdot 7b^2\\
\Delta=128b^2=(8\sqrt{2}b)^2\\
a=\frac{-10b-8\sqrt{2}b}{-14}=\frac{5+4\sqrt{2}}{7}b\\
c=\frac{5+4\sqrt{2}+7}{4\cdot 7}b=\frac{3+\sqrt{2}}{7}b\\\)


\(\cos\alpha=\frac{c}{a}\\
\cos\alpha=\frac{b(3+\sqrt{2})}{7}\cdot\frac{7}{b(5+4\sqrt{2})}\\
\cos\alpha=\frac{(3+\sqrt{2})(5-4\sqrt{2})}{-7}\\
\cos\alpha=\frac{7-7\sqrt{2}}{-7}\\
\cos\alpha=-1+\sqrt{2}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: Trapez wpisany w okrąg oparty na srednicy

Post autor: Jerry »

Albo, przy oznaczeniach przyjętych przez eresh:
  1. \(|EA|={a+b\over2}=2c\)
  2. Z \(\Delta BEC:\, |BE|=c\cos\alpha\)
  3. Z prostokątnego \(\Delta ABC\) i tw. o średniej geometrycznej \(:\,|EC|^2=c\cos\alpha\cdot2c\)
  4. Z \(\Delta EBC\) i tw. Pitagorasa \(:\, (c\cos\alpha)^2+2c^2\cos\alpha=c^2\)
    \(\cos^2\alpha+2\cos\alpha-1=0\)
    Wobec \(\cos\alpha\in(0;1)\) mamy
    \(\cos\alpha=\sqrt2-1\qquad CKD\)
Pozdrawiam
ODPOWIEDZ