równoległobok

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
franco11
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 152
Rejestracja: 01 maja 2016, 07:18
Podziękowania: 80 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

równoległobok

Post autor: franco11 »

Boki równoległoboku mają długość a i b, zaś przekątne c i d. Wykaż, że jeśli długości przekątnych różnią się o 4, to cosinus kąta ostrego równoległoboku jest równy \( \frac{c+d}{ab} \)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: równoległobok

Post autor: Jerry »

Zrób schludny rysunek.
Niech \(\alpha\) będzie katem ostrym i \(d-c=4\).
Wtedy
\(\beta=180^\circ-\alpha\) , czyli \(\cos\beta=-\cos\alpha\)
i z wzoru cosinusów mamy
\(-\underline{\begin{cases} d^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\end{cases}}\\
d^2-c^2=4ab\cos\alpha\\
4(d+c)=4ab\cos\alpha\\
\cos\alpha={d+c\over ab}\qquad CKD\)

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ