Trójkąt, środkowe, sinus

[avleyi]

W trójkącie prostokątnym równoramiennym poprowadzono środkowe z wierzchołków kątów ostrych. Oblicz sinus kąta rozwartego zawartego między nimi.

[eresh]

W trójkącie prostokątnym równoramiennym poprowadzono środkowe z wierzchołków kątów ostrych. Oblicz sinus kąta rozwartego zawartego między nimi.

BE,CD - środkowe
F - punkt przecięcia środkowych

\(|AC|=|AB|=a\\
|CD|=|EB|\\
|CD|^2=|AC|^2+|AD|^2\\
|CD|^2=a^2+0,25a^2\\
|CD|=\frac{\sqrt{5}}{2}a\\
|CF|=|BF|=\frac{2}{3}|CD|=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}a=\frac{\sqrt{5}}{3}a\)

\(|CB|=a\sqrt{2}\)

\(|BC|^2=|CF|^2+|BF|^2-2|CF||FB|\cos\alpha\\
2a^2=\frac{5}{9}a^2+\frac{5}{9}a^2-2\cdot\frac{5}{9}a^2\cos\alpha\\
\frac{10}{9}\cos\alpha=-\frac{8}{9}\\
\cos\alpha=-\frac{4}{5}\\
\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}\)