prostokąt i trójkąt

[attec18]

Prostokąt \(HOMF\) ma boki \(HO = 11, OM = 5\). W trójkącie ABC punkt H jest punktem przecięcia wysokości, O jest środkiem okręgu opisanego, M jest środkiem BC, F jest spodkiem narysowanej wysokości od wierzchołka A. Oblicz długość BC.

[Jerry]

Jak zwykle - ciekawe zadanie... Wg mnie \(|BC|=28\).
Pełniejsze rozwiązanie, jak będę bardziej czasowy

Pozdrawiam

[Jerry]

1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku

   

   Zauważmy istnienie kątów miary \(\alpha\)
2. Z \(\Delta OMO_1:|O_1M|=5\cos\alpha\)
3. Z \(\Delta O_2HO_1: |O_2H|=11\sin\alpha=|O_1H_1|=|O_3H_2|\)
4. \(|H_1M|=5\cos\alpha-11\sin\alpha\)
5. \(\Delta H_2BC\sim\Delta H_1MN;\, |H_2B|=10\cos\alpha-22\sin\alpha\)
6. \(|AB|=2\cdot(|O_3H_2|+|H_2B|=20\cos\alpha-22\sin\alpha\)
7. Z \(\Delta H_1MC,\, \Delta ABF:\begin{cases}\sin\alpha=\frac{5\cos\alpha-11\sin\alpha}{x+11}\\\sin\alpha=\frac{x}{20\cos\alpha-22\sin\alpha}\end{cases}\iff\begin{cases}x=\frac{5\cos\alpha-22\sin\alpha}{\sin\alpha}={5\over\tg\alpha}-22\\ x=20\sin\alpha\cos\alpha-22\sin^2\alpha\end{cases}\So\\ \qquad\So
   5\cos\alpha-22\sin\alpha=20\sin^2\alpha\cos\alpha-22\sin^3\alpha\)
8. Równanie to można przekształcić (po drodze dzieląc krotnie przez \(\cos\alpha\)) do postaci
   \[15t^2+22t-5=0\]
   gdzie \(t=\tg\alpha>0\). Wynika z niego
   \[\tg\alpha={1\over5}\]
9. Wobec \(x={5\over\tg\alpha}-22\) mamy \(x=3\)

Odpowiedź: \(|BC|=28\)

Pozdrawiam