kąt w trójkącie

[attec18]

W trójkącie \(ABC\) (\(|\angle A|=80^o \)i \(|\angle B|=60^o\)) wewnętrzna dwusieczna kąta \(\angle C\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\). Równoległa z \(D\) do boku \(AC\) przecina bok \(BC\) w punkcie \(E\). Znajdź miarę kąta \(EAB\).

[Jerry]

1. Schludny rysunek, niech \(|AC|=b>0,\ |\angle CAE|=\alpha\in(0^\circ;80^\circ)\). Z bilansu kątów:
   • \(\Delta ADC\) jest równoramienny, \(|CD|=b\)
   • \(\Delta CDE\) jest równoramienny, \( |CE|={b\over 2\cos20^\circ}\)
2. Z \(\Delta ACE\) i tw. Snelliusa:
   \(\frac{{b\over2\cos20^\circ}}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin(180^\circ-40^\circ-\alpha)}\iff 2\cos20^\circ\sin\alpha=\sin(140^\circ-\alpha)\\ \quad 2\cos20^\circ\sin\alpha=\cos(50^\circ-\alpha)\qquad(*)\\
   \quad2\cos20^\circ\sin\alpha=\cos50^\circ\cos\alpha+\sin50^\circ\sin\alpha\\ \quad\ldots\\
   \quad \ctg\alpha=\frac{2\cos20^\circ-\sin50^\circ}{\cos50^\circ} \)
   Równanie to ma jedno rozwiązanie w przedziale określoności, łatwo zauważyć, że \(\alpha=30^\circ\) spełnia \((*)\)

Odp. \(|\angle EAB|=80^\circ-30^\circ=50^\circ\)

Pozdrawiam
PS.

• Opcjonalne można z \(\Delta AEC\) i tw. Carnota (dwukrotnie) doliczyć \(|AE|\) oraz \(\cos\alpha\), ale nie wiem czy rachunki byłyby przyjemne...
• Może ktoś bieglejszy w trygonometrii rozwiąże \((*)\) formalnie

[Icanseepeace]

Może ktoś bieglejszy w trygonometrii rozwiąże \((*)\) formalnie

\( 2\cos(20^o) - \sin(50^o) = \cos(20^o) + \cos(20^o) - \cos(40^o) = \cos(20^o) + 2\sin(30^o) \sin(10^o) = \\ = \cos(20^o) + \cos(80^o) = 2\cos(50^o) \cos(30^o) \)
Dlatego
\( \ctg(\alpha) = \frac{ 2\cos(20^o) - \sin(50^o)}{\cos(50^o)} = \frac{2\cos(50^o) \cos(30^o)}{\cos(50^o)} = \sqrt{3} \)